数值分析考试试卷(解答)

一．填空题（每小题2分，共20分）：

1．计算的近似值时，要使其相对误差限，只需取   3   位有效数字；

2．设近似数的误差限分别为和，则    0.05   ；

3．函数的误差限记为，则   1   ；

4．近似计算:≈     - 0.01     (写成十进制小数形式)；

5．设函数，则均差     5    ；

6．若是的最佳4次逼近多项式，则在上至少有   6  个偏差点；

7.设是区间上的次勒让德多项式，则    0   ；

8．在求积公式中，辛甫生公式至少具有    3    次代数精度；

9．将分解为下三角阵与上三角阵之积, 即,       

                   则,；

10．设对称矩阵的主特征值，列向量,则是的一个  特征向量  .

二．单选题（每小题2分，共20分）：

1. 根据数值运算误差分析的方法与原则, 无需避免的是 (  B  );

     A. 绝对值很大的数除以绝对值很小的数    B. 两个非常相近的数相乘

     C. 绝对值很大的数加上绝对值很小的数    D. 两个非常相近的数相减

  2. 设  分别为节点  上的  次拉格朗日插值基函数，

     则（  A  ）；

          A．        B.            C.               D. 

3. 当  时，其伯恩斯坦多项式（  B  ）；

         A.            B.            C.            D. 

  4．在区间  上的最佳次逼近多项式为（  B  ）；

        A．            B．            C.            D． 

  5. 设是的平方逼近多项式, 则其逼近标准是依据(  A  )；

     A.       B. 

     C.           D. 

  6. 若牛顿-柯特斯公式只有一个求积节点, 则柯特斯系数  (  A  )；

      A.          B.         C.        D. 

  7．插值型求积公式  的代数精度最高可达到 (  D  ) 次；

      A.          B.         C.        D. 

8. 下列方法不是常微分方程数值解法的是 (   B   )；

      A. 尤拉方法   B. 牛顿方法      C. 梯形方法     D. 龙格-库塔方法

  9. 用迭代法解方程, 则该方程最好改写为 (  B  ) ；

     A.    B.    C.     D. 

 10. 迭代法解线性方程组收敛的充要条件是（  C  ）；

     A．    B.       C.     D. 

三．计算题（每小题7分，共42分）：

 1. 设, 试构造基函数求的2次插值多项式,满足:

     .   

解  设的基函数为，则它们满足下列关系              （1分）

(1) 令，则有, 

即. 所以.

或由，先得.

再由，得，即. 由，得，即.

所以.                                        （1分）

(2) 令，则有,

即. 所以.

或由,先得. 再由，得.

所以.                                                            （1分）

(3) 令，则有，

即. 所以

或由,先得.

再由，得，即. 所以        （1分）

最后得.        （1分）

2. 求  在区间 [-1,1] 上的２次最佳一致逼近多项式;

解  设所求的2次最佳一致逼近多项式为. 令.    （2分）

则的首项系数为1, 并且当时,与的偏差最小, 即与的偏差最小.                                        （2分）

因为上的3次切比雪夫Chebyshev多项式为.                （1分）

所以.        （2分）

3．利用龙贝格公式计算定积分(计算到即可)：

解  ，,            （1分）

,

,

,                                （2分）

,    （2分）

,

,

.(2分)

4．利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长计算）

解  令，则改进的尤拉公式为：

                        （2分）

.                                        （2分)

取得，.                                 （1分)

计算结果如下：           

5．用牛顿法求方程  在  附近的根（只要求迭代２步）。

解  牛顿迭代公式为：                                    （2分)

.                                                        （2分)

取迭代初值为，则迭代结果如下表所示：

                                                                        （3分）

6．写出解如下线性方程组的高斯－塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯－塞德尔迭代公式？

解   , , , ,.        （1分）

则,                                        （1分）

得,                        （1分）

,                                    （1分）

为高斯-塞德尔迭代公式.             （1分）

这时的2个特征值为,故，迭代法不收敛.            （1分）

若原方程改写成为, 这时是严格对角

优势矩阵，则由此得到的迭代法必收敛.                                        （1分）

四．证明题(每小题9分,共18分)： 

  1. 证明本试卷第三大题（即计算题）第１小题的插值余项：

, 并有误差估计

证：方法一：因为，则是的零点且为二重的,     (1分)

于是可设，令    (2分)

则有4个零点:,连续使用三次罗尔定理,则使,        (2分)

即, 得.            (2分)

方法二: 设, 则有3个零点,     (1分)

有2+1个零点,。有一个零点，所以   (2分)

                                                        (2分)

， 即.        (2分)

最后.           (2分)

2．证明: 求积公式恰有次代数精度.

证：当时， ， 

;                    (1分)

   当时，,

;            (1分)

当时，,

  ;               (1分)

当时，,

  ;               (1分)

  当时，,

  ;             (1分)

 当时，,

  .                (1分)

     即求积公式对次数不超过的多项式准确成立, 但当时，

,

, 不成立.        (2分)

综之，求积公式具有5次代数精度.                                            (1分)