(1)求a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性．19．设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为
1,4.若f (x )在
(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．
20.如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
21．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求a ，b ； (2)求函数f (x )在[0，t ] (t >0)内的最大值和最小值． 22．已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式； (2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．
第三章 导数及其应用 单元测试卷（B ） 答案
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C 9．C 10．D 11．D 12．C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．2
14．2
15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，12e π2
16．①②④
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．解 曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上．
设切点为M (x 0，y 0)，
则点M 的坐标满足y 0＝x 03－3x 0.
因为f ′(x 0)＝3(x 02－1)，
故切线的方程为y －y 0＝3(x 02－1)(x －x 0)．
点A (0,16)在切线上，则有
16－(x 03－3x 0)＝3(x 02－1)(0－x 0)．
化简得x 03＝－8，解得x 0＝－2.
所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0.
18．解 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .
由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，
所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12， 解得a ＝1，b ＝－3.
(2)由a ＝1，b ＝－3得 f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－10，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，得1≤a ≤9， 即a 的取值范围是[1,9]． 20．解 (1)设长为x m ，则宽为200x m.据题意，得⎩⎨⎧ x ≤16，200x ≤16，解得252≤x
≤16，
y ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000
＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16.
(2)由(1)知y ′＝800－259 200
x 2，
令y ′＝0，解得x ＝18，
当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数；
当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数．
∴在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
252，16上，函数y 单调递减，
∴当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45 000元．
21．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0
f ′(1)＝－3
即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3
b ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，
f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．
f ′(x )与f (x )随x 变化状态如下：
由f (x )＝f 因此根据f (x )图象， 当03时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为f (2)＝－2. 22．解 (1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)． ∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2， ∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R )． (2)方程f (x )＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0 设h (x )＝2x 3－10x 2＋37， 则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根， ∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根．
