圆周运动中临界问题

教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题

教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题

教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征

教学内容

一、有关概念

1、向心加速度的概念

2、向心力的意义　（由一个力或几个力提供的效果力）

二、内容

1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题

（1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

图4－2－2            图4－2－3

①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv临界=；

②能过最高点的条件：v≥，当v＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力；

③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）.

（2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：

①当v=0时，FN=mg（FN为支持力）；

②当0＜v＜时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力；

③当v=时，FN=0； ④当v＞时，FN为拉力，FN随v的增大而增大.

图4－2－4                  图4－2－5

若是图4－2－5的小球在轨道的最高点时，如果v≥，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.

例1   长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：

①当A的速率v1＝1m／s时      ②当A的速率v2＝4m／s时

解析：    V0=＝m／s＝m／s

　    小球的速度大于m／s时受拉力，小于m／s时受压力。

解法一：①当v1＝1m／s＜m／s时，小球受向下的重力mg和向上的支持力N

  由牛顿第二定律　mg－N＝m 

　　　　　　　　　N＝mg－m＝16N

　即杆受小球的压力16N。

②当v2＝4m／s＞m／s时，小球受向下的

重力mg和向下的拉力F，由牛顿第二定律　mg＋F＝m 

　　　　　　　　　F＝m－mg＝44N

即杆受小球的拉力44N。

解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。

　　　　由牛顿第二定律　　　mg＋F＝m    得　F＝m（－g）

当v1＝1m／s时，F1＝－16N　　F1为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。

当v2＝4m／s时，F2＝44N。　　F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。

例2   如图4所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，有一长l＝0.4m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量为m＝0.2 kg的小球，使之在斜面上作圆周运动，求：(1)小球通过最高点A时最小速度；(2)如细绳受到9.8N的拉力就会断裂，求小球通过最低点B时的最大速度.

2、在水平面内作圆周运动的临界问题

在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

例3   如图9所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

⑴当v＝时，求绳对物体的拉力；

⑵当v＝时，求绳对物体的拉力。

解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为，则有

       解得 

（1）当（2）当时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为，则

例4   如图6所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳

长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，

问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为

3 rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？

解析：①当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC

并不张紧。当ω逐渐增大到30°时，BC才被拉直（这是一个临界状态），

但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为ω1，则有：

TACcos30°＝mg

TACsin30°＝mω12Lsin30°

将已知条件代入上式解得　ω1＝2.4 rad／s 

②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达到ω2时，TAC＝0（这又是一个临界状态），则有：　　　TBCcos45°＝mg

TBCsin45°＝mω22Lsin30°

将已知条件代入上式解得　ω2＝3.16 rad／s 

所以　当ω满足 2.4 rad／s≤ω≤3.16 rad／s，AC、BC两绳始终张紧。

　　　本题所给条件　ω＝3 rad／s，此时两绳拉力TAC　、TBC都存在。

TACsin30°＋TBCsin45°＝mω2Lsin30°

TACcos30°＋TBCcos45°＝mg

      将数据代入上面两式解得　TAC＝0.27N，　TBC＝1.09N

　　　注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。

如果ω＜2.4 rad／s时，TBC＝0，AC与轴的夹角小于30°。

如果ω＞3.16rad／s时，TAC＝0，BC与轴的夹角大于45°。

例5　如图7所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g＝10m／s2）       [ 先以m＝0为题引入，由浅入深  ]

解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而M

与平面静止时有两个临界状态：

当ω为所求范围最小值时，M有向着圆心

运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向

背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。

此时，对M运用牛顿第二定律。

有      T－fm＝Mω12r      且　  T＝mg

解得　  ω1＝2.9 rad／s

当ω为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N。

再对M运用牛顿第二定律   有     　　　 T＋fm＝Mω22r      

解得　  　　　ω2＝6.5 rad／s

所以，题中所求ω的范围是：　2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s

例6　如图8所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求：

⑴当转盘角速度ω1＝时，细绳的拉力T1。

⑵当转盘角速度ω2＝时，细绳的拉力T2。

解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得。

（1）因为，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即。

（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿的第二定律得：，解得。

3、连接体的临界问题

例1、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m的小物体A、B， A、B间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为RA=20cm，RB=30cm。A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：

(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0；

(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω；

(3)当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何?

答案： (1)当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω0，则是kmg=mrBω02

解得： =3.7rad/s

(2)当A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为ω，线上拉力为FT则，对A：FfAm-FT=mrAω2

对B：FfBm+FT=mrBω2

又：FfAm=FfBm=kmg

解得ω=4rad/s。

(3)烧断细线，A与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为rA=20cm的圆周运动，而B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。

答案：(1) 3.7rad/s  (2) 4rad/s  (3)A做圆周运动，B做离心运动

分析：1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。但也可用整体法来求解。

三、巩固练习

1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m／s时，车对桥的压力为车重的。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为       （　　　）

A、15 m／s        B、20 m／s        C、25 m／s        D、30m／s

2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为，离轴心，B的质量为，离轴心，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求                    

（1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？

（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）

解析：（1）较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，增大，可知，它们受到的静摩擦力也增大，而，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。再增大，AB间绳子开始受到拉力。

由，得：  

（2）达到后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A增大的向心力超过B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为，绳中张力为，对A、B受力分析：

对A有    对B有

联立解得：  

3、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量m1，B球的质量为m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0，设A球运动到最低点，B球恰好运动到最高点。若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是＿＿＿＿＿＿。　（97年高考题）

4、如图39－3所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则[ABC ]

A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力

B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大

C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力

D．当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力

5、如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是                          【      】

A．两物体均沿切线方向滑动

B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远

C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动

D．物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动；

物体B发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远

6、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度v0=，物体甲将

A．沿球面下滑至M点

B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动

C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动

D．立即离开半圆球做平抛运动

7、长度为0．5m的轻质细杆OA，A端有一质量为 3kg 的木球，以O点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s，取g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是            ，方向向        。

8、如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好没有发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是

A．两物体均沿切线方向滑动

B．两物体均沿半径方向滑动，远离圆心

C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会滑动

D．物体A仍随圆盘做匀速圆周运动，物体B沿曲线运动，远离圆心

9、如图所示，木板B托着木块A在竖直平面内作匀速圆周运动，从与圆心相平的位置a运动到最高点b的过程中  (       )                                  

A、B对A的支持力越来越大    

B、B对A的支持力越来越小

C、B对A的摩擦力越来越大    

D、B对A的摩擦力越来越小

10、如图所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球让它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比T1 ∶T2 为    (        )

   A、1∶1                          B、2∶1       

   C、3∶2                           D、3∶1

11、如图所示,小球 M 与穿过光滑水平板的小孔 O 的轻绳相连，用手拉着绳的另一端使 M 在水平板上作半径为 a  ，角速度为ω１的匀速圆周运动，求：(1) 此时 M 的速率.(2)若将绳子突然放松一段，小球运动 t  时间后又拉直，此后球绕 O 作半径为 b 的匀速圆周运动，求绳由放松到拉直的时间 t .

12、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都是v0，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足的关系。

圆周运动补充

1．一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图所示，云层底面距地面高h，探照灯以角速度ω在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点的移动速度是（　　）

A．hω          B． 

C．      D．hωtan θ

2．两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动。则它们的（　　）

A．运动周期相同

B．运动的线速度相同

C．运动的角速度相同

D．向心加速度相同

3．如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s。取g＝10 m/s2，下列说法正确的是（　　）

A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是24 N

B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 N

C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N

D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N

4．如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：

（1）物块做平抛运动的初速度大小v0；

（2）物块与转台间的动摩擦因数μ。

5．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管置于竖直平面内，两个质量均为m的小球A、B，以不同的速度进入管内，A通过最高点P时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点P时，对管壁下部的压力为0.75mg，求A、B两球落地点间的距离。