高考数学导数压轴大题7大题型梳理归纳

题型一：含参分类讨论

  类型一：主导函数为一次型

 例1：已知函数，且.求的值

      解：.当时，，即在上单调递减，所以当时，，与恒成立矛盾.

 当时，因为时，当时，所以，又因为，所以，解得

  类型二：主导函数为二次型

  例2: 已知函数.讨论在上的单调性.

 解：的定义域为，，其开口向上，对称轴，且过，故，明显不能分解因式，得.

（1）当时，即时，，所以在 

上单调递增；

（2）当时，即时，令，解得：

 ，因为，所以两根均在上.

  因此，结合图像可得：在上单调递增，在上单调递减.

类型三：主导函数为超越型

例3：已知函数.求函数在区间上的最值.

解：定义域，，令，则

 当，可得，即在递减，可得，则在递减，所以

类型四：复杂含参分类讨论

 例4：已知函数.

 若在上的最大值和最小值分别记为，求.

 解：，

 ①当时，有，故，所以在上是增

函数，，故.

 ②当时，若，在上是增函数；若

，，在上是减函数，

，由于

因此当时，；当时，.

 ③当时，有，故，此时在上是减函数，因此，故.

题型二：利用参变分离法解决的恒成立问题

 类型一：参变分离后分母跨0

   例5：已知函数，若时，，求的取值范围.

 解：由题意，对于任意的恒成立.

 当，上式恒成立，故；

 当，上式化为，令

 ，所以在处取得最大值，

 当时，上式化为，单调递增，故在处取得最小值，.

 综上，的取值范围为.

 类型二：参变分离后需多次求导

     例6：已知函数对任意的恒成立，求的最小值.

 解：即对恒成立.

 令，则

 再令

 在上为减函数，于是，

 从而，，于是在上为增函数，，

 故要恒成立，只要，即的最小值.

 变式1：已知函数，

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若关于的不等式恒成立，求取值范围.

类型三：参变分离后零点设而不求

 例7：已知函数，若，且对于任意恒成立，求的最大值.

 解：恒成立不等式，令，则，考虑分子

 ，在单调递增.

 由零点存在定理，，使得.

 所以，，同理，所以在

 单调递减，在单调递增.，因为即，所以得     

   变式1：（理）已知函数

        （2）当时，，求的取值范围.

题型三：无法参变分离的恒成立问题

类型一：切线法

例8：若，求的取值范围.

 类型二：赋值法

    例9：已知实数，设函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对于任意均有，求的取值范围.

 解析：（1）当时，．

，

所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．

（2）由，得．

当时，等价于．

令，则．设 ，

则．

（i）当 时，，则．

记，则

.故

（ii）当时，．

令 ，则，

故在上单调递增，所以．

由（i）得．所以，．

因此．由（i）（ii）得对任意，，即对任意，均有．

综上所述，所求a的取值范围是

题型四：零点问题

类型一：利用单调性与零点存在定理讨论零点个数

例10：已知函数

 （2）用表示中最小值，设函数

 讨论零点个数.

 解：（2）当时，，从而，∴在无零点．

当=1时，若，则，,

故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点．

当时，，所以只需考虑在的零点个数．

(ⅰ)若或，则在无零点，故在单调，

而，，所以当时，在有一个零点；

当0时，在无零点.

(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，

故当=时，取的最小值，最小值为=．

①若＞0，即＜＜0，在无零点．

②若=0，即，则在有唯一零点；

③若＜0，即，由于，，

所以当时，在有两个零点；

当时，在有一个零点．

综上，当或时，由一个零点；

当或时，有两个零点；当时，有三个零点．

类型二：方向上的函数值分析

    例11：已知函数若有两个零点，求取值范围.

         （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点．

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为

．

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即．

又，故在有一个零点．

设正整数满足，则，

因此在有一个零点．综上，的取值范围为．

    总结：若，要证明有两个零点，结合零点存在定理，分别在的左右两侧，这两个点的函数值都大于0，这时候需要我们对函数进行适当地放缩，化简，以便取值.

 先分析当，虽然为正，但是对式子影响不大，因此可以大胆的舍掉，得出，显然我们对于右侧这个式子观察，就容易得出一个足够小的（如），使得式子大于0了.

 再分析当，我们可以把这个虽然是正数，但贡献比较小的项舍掉来简化运算，得到，显然当足够大，就可以使大于任何正数.那么把它放缩成多少才可以使得的倍数大于呢？由常用的不等式，因此只需要使得即（如）就可以了.

题型五：极值点偏移

  类型一：标准极值点偏移

 例13:已知函数有两个零点，证明

  解： 不妨设，由（Ⅰ）知，，

又在上单调递减，所以等价于，

即．由于，

而，所以．

设，则．

所以当时，，而，故当时，．

从而，故．

类型二：推广极值点偏移

 例14：已知，求证.

 解：我们可以发现不一定恒在两侧，因此需要分类讨论：

（1）若，则，该不等式显然成立；

（2）若，令

 ，故，在上单调递增，当时，.

 使即在上单调递减，在上单调递增，又时，，且，故，即对成立，得证.

题型六：双变量问题

  类型一：齐次划转单变量

例15：已知函数.设，且，

求证.

         解：设，证明原不等式成立等价于证明成立，即证明成立.令，，即证.由（1）得，在上单调递增，故，得证.

变式1：对数函数过定点，函数，.

     （1）讨论的单调性；

     （2）若对于有恒成立，且在处的导数相等，求证：.

     解：（2）因为，而有恒成立，知

当时有最大值，有（1）知必有.

∴

 依题意设∴

 ∴

令，

∴在单调递增，∴

类型二：构造相同表达式转变单变量

    例16：已知是正整数，且，证明

          解：两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明，即证明  ，构造函数，，令，，故，故，结合知

类型三：方程消元转单变量

例17：已知与，两交点的横坐标分别为，，求证：

 解：依题意，相减得：

，化简得 ，

设，令，

  再求导分析单调性即可.

       变式1：已知函数有两个零点.

          （2）记的极值点为，求证：.

变式2：设函数.

 若存在三个极值点，且，求范围，证明.

变式3：已知函数在定义域内有两个极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）设是两个极值点，求证.

类型四：利用韦达定理转单变量

 例18：已知，若存在两极值点，

             求证：.

 解：由韦达定理

令，在上单调递减，故 .

 变式1:已知函数

      （2）若是函数的两个极值点，且，求证：  

 方法二：

 变式2：已知函数.

（1）讨论函数的极值点个数；

（2）若有两个极值点，证明.

题型六：不等式问题

 类型一：直接构造函数解决不等式问题

例19：当时，证明：.

 解：令，则，而

 ，当时，

有，故，

在上递减，即，从而在递减，，原不等式得证.

 变式1：已知函数.

      （1）求函数在点处的切线方程；

      （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围

        解：（2）令

 ，

 ①若，则在上单调递减，又.

 即恒成立，所以在上单调递减，又，所以恒成立.

 ②，令

 所以，易知与在上单调递减，

 所以在上单调递减，.

 当，即时，在上恒成立，

 则在上单调递减，即在上单调递减，又，

恒成立，在上单调递减，又，恒成立.

 当时，即时，使，所以在

上单调递增，此时，所以

 所以在递增，得，不符合题意.

 综上，实数的取值范围是.

  变式2：（文）已知函数

    （1）求直线与曲线相切时，切点的坐标.

    （2）当时，恒成立，求的取值范围.

 解：(1)设切点坐标为，， 

则，∴.

令，∴，∴在上单调递减，

∴最多有一根.又∵，∴，此时，的坐标为(1，0).    

(2)当时，恒成立，等价于对恒成立.

令，则，.

当，时，，

∴，在上单调递增，因此.

当时，令得.

由与得，.

∴当时，，单调递减，

∴当时，，不符合题意；

综上所述得，的取值范围是.              

 变式3：（文）已知函数

（2）若存在实数，对于任意，不等式恒成立，求实数的最小整数值.

 解：（2）法一：参变分离+二次局部求导+虚设零点  

变式4：（理）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，求实数的取值范围.

变式5：已知.

（1）当时，证明.

类型二：利用证明不等式问题

      例20：设函数曲线在点的切线方程为.

（1）求值；

（2）证明：

    【解析】(1)函数的定义域为，．

由题意可得，．

(2)由(1)知，从而等价于．

设函数，则．

所以当时，；当时，．

故在单调递减，在单调递增，

从而在的最小值为．

设函数，则．

所以当时；当时，故在单调递增，

在单调递减，从而在的最大值为．

变式1. 已知函数的图像在点处的切线斜率为.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：

解：（2）要证，需证明.

 令，则，

 当时，得；当得.

 所以.

 令，则.

 当时，得；当时，得.

 所以.因为，所以.

 又，所以，即得证.

   变式2：（理）已知函数

        （1）求的极值；

（2）若，求正实数的取值范围.     

变式3：已知.

（2）当时，证明.

类型三：利用赋值法不等式问题

       例21：已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，当，，求的最大值.

（3）估计（精确小数点后三位）.

 解：因为

 所以

 ①当时，等号仅当时成立，所以在上单调递增，而，所以对于任意.

 ②当，若满足，即时，，而，因此当时，，综上最大为2.

（3）由（2）知，，

当时，；

当时，

，，所以近似值为

类型四：利用放缩法构造中间不等式

           例22：若，证明：

 解：转化成整式.

 令，则

 .由，

 得

 故，得证.

 变式1：（2020河南鹤壁市高三期末）已知函数，

 .

（2）若不等式对任意恒成立，求实数范围.

变式2:（2020年河南六市联考）

  已知函数，

  证明：当

类型五：与数列相关的不等式

  例23：设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.

              解：（2）由（1）知当时，

令得，从而

故

而，所以m的最小值为3．

         变式1：（理）已知函数.

     （1）若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围；

      （2）证明：

变式1：（2020河南开封二模）已知函数.

（1）证明；

（2）设为整数，且对于任意正整数，， 

 求的最小值.

类型六：与切、割线相关的不等式

例24：已知函数

（1）求在上的最大值；

（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；

（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值. 

 解：证明，即，

 令，，所以

 在，递减，在递增.而，表明不等式成立.

 所以，

 等号在全部为1时成立，所以最小值为42