高考函数专题：函数周期性与对称性

一、函数周期：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集    

例如：求的周期

  1. 常见函数周期:

①y=sinx，最小正周期T＝2π； ②y=cosx，最小正周期T＝2π； ③y=tanx，最小正周期T＝π； ④y=cotx，最小正周期T＝π.

周期函数f(x) 最小正周期为T,则y=Af(ωx+φ)+k 的最小正周期为T/|ω|.

2.几种特殊的抽象函数的周期：

函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,

1，则是以为周期的周期函数；

  ②，则是以为周期的周期函数；

③，则是以为周期的周期函数；

  ④，则是以为周期的周期函数；    

⑤，则是以为周期的周期函数.

⑥，则是以为周期的周期函数.

⑦，则是以为周期的周期函数.

⑧函数满足（），若为奇函数，则其周期为，

若为偶函数，则其周期为.

⑨函数的图象关于直线和都对称，则函数是以

为周期的周期函数；

⑩函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；

⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；

（二）主要方法：

判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有;

 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.

解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。

二、对称性：函数关于原点对称即奇函数： 

            函数关于对称即偶函数： 

            函数关于直线对称：或或 者

            函数关于点对称： 

1．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是    

A．2；  B．3；  C．4；  D．5    （   ）

2．设函数为奇函数，则（     ）

    A．0    B．1    C．    D．5

3．已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=(    )

A、2005       B、2       C、1       D、0

4． 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是                      （   ）

(A)；    (B)；

(C)；    (D) 

5．设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于

A.       B.          C.         D. 

6.已知定义在R上的函数f (x)的图象关于成中心对称，且满足f (x) =, f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（  ）

A．–2                B．–1             C．0                 D．1

7.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是   高考资源网     

A.0           B.          C.1         D. 

8.若是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，，则＝     ．

9.定义域为R，且对任意都有，若则=_

10．设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=。

11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当012. 已知函数y＝f (x)是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值. 

①证明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式.

13．设是R上的偶函数．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

14．设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０．

(Ⅰ)求ｆ； (Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记＝ｆ（２ｎ＋），求．

参

7.解析：令，则；令，则

由得，所以

，故选择A。

8.－2   9.  10.0

11.证明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=－f(－x). ∴f(x)为奇函数. 

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,

又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，

即　f(x2)12.解：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，

又∵是奇函数，∴，∴

②当时，由题意可设，

由得，∴，

∴

③∵是奇函数，∴，

又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，∴可设，而，

∴，∴当时，f (x)=-3x，

从而当时，，故时，f (x)= -3x，.

∴当时，有，∴0. 

当时，，∴

∴

13.

（I）解：依题意，对一切有，即

             所以对一切成立.

            由此得到即a2=1.            又因为a＞0，所以a=1.

    （II）证明一：设0＜x1＜x2，

         由

         即f（x）在（0，+∞）上是增函数．

         证明二：由得

                 当时，有此时

                 所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．

14.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,

所以

ｆ（１）＝ａ＞0，                                                 

∴                                              

 (Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，

故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R

又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，

将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ

这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.            

（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］

∵

∴    ｆ（ｘ）的一个周期是2 ∴ｆ（２ｎ＋）=ｆ（）,因此an=

（三）典例分析： 

问题1．(山东)已知定义在上的奇函数满足，则的值为                              

问题2． (上海) 设的最小正周期且为偶函数,

它在区间上的图象如右图所示的线段,则在区间上, 

已知函数是周期为的函数，当时，，

当时，的解析式是             

是定义在上的以为周期的函数，对，用表示区间，

已知当时，，求在上的解析式。 

问题3．（福建）定义在上的函数满足，当时，

，则   ； ；

（天津文） 设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，

且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是        

问题4．定义在上的函数，对任意，有，且，求证：；判断的奇偶性；

若存在非零常数,使，证明对任意都有成立；

函数是不是周期函数，为什么？

问题5．（全国）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任

意的，都有.

设，求、；证明：是周期函数.

记，求.

（四）巩固练习： 

（北京春）若存在常数，使得函数满足，

的一个正周期为            

设函数（）是以为周期的奇函数，且，则

函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在上

是减函数，那么在上是

增函数       减函数     先增后减函数      先减后增函数

设，记，则               

（五）课后作业： 

已知函数是以为周期的周期函数，且当时，，则

的值为                      

设偶函数对任意，都有，且当时，

，则                   

设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，

当≤时，，则              

已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，.求时，的表达式；证明是上的奇函数．

（朝阳模拟）已知函数的图象关于点对称，且满足，又，，求…的值

（六）走向高考： 

（福建）是定义在上的以为周期的奇函数，且在区间内解

的个数的最小值是                            

（安徽）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．

若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为

(全国)已知函数为上的奇函数，且满足，

当时，，则等于(     ) 

（安徽）函数对于任意实数满足条件，若，

则                 

(福建文）已知是周期为的奇函数，当时， 

设则

（天津）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期

是，且当时，，则的值为

（天津）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线

对称，则            

（广东）设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论