《对数函数及其性质》教学设计(精品)

问题

生：y=logax.

师：这样就得到了我们生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数.这就是我们下面将要研究的知识.

形成

一般地，函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=logax的定义域是（0，+∞），值域是R.

探究：（1）在函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1．

（2）为什么对数函数（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）．

生答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞0且≠1．

②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，

＞0，所以．

深化

借助于计算器或计算机在同一坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，探求它们之间的关系.

（1）y=2x，y=log2x；

（2）y=（）x，y=logx.

2.当a＞0，a≠1时，函数y=ax，y=logax的图象之间有什么关系？

对数函数图象有以下特征

图象的特征

掌握对数函数图象特征，以及性质.

举例

（1）y=logax2；

（2）y=loga（a＞0，a≠1）.

例2 求证：函数f（x）=lg是奇函数.

例3 溶液酸碱度的测量.

溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H+］=10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.

课堂练习

课本第85页练习1，2.

学生回答：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义.

④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.

（师生共同完成该题解答，师规范板书）

解：（1）由x2＞0，得x≠0.

∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}.

（2）由题意可得＞0，又∵偶次根号下非负，

∴x－1＞0，即x＞1.

∴函数y=loga（a＞0，a≠1）的定义域是{x|x＞1}.

小结：求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.

例2分析：根据函数奇偶性的定义来证明.

证明：设f（x）=lg，由＞0，

得x∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1），

又对于定义域（－1，1）内的任意的x，

都有f（－x）=lg

=－lg=－f（x），

所以函数y=lg是奇函数.

注意：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.

例3解：根据对数的运算性质，有pH=－lg［H+］

=lg［H+］－1=lg.

在（0，+∞）上，随着［H+］的增大，减小，相应地，lg也减小，即pH减小.

所以，随着［H+］的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小.

（2）当［H+］=10－7时，

pH=－lg10－7，所以纯净水的pH是7.

事实上，食品监督监测部门检测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH应该在5.0～7.0之间.

课堂练习答案

1.函数y=log3x及y=logx的图象如图所示.

相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.

不同点：y=log3x的图象是上升的，y=logx的图象是下降的.

关系：y=log3x和y=logx的图象关于x轴对称.

2.（1）（－∞，1）；

（2）（0，1）∪（1，+∞）；

（3）（－∞，）；

（4）［1，+∞）.

总结

2.对数函数的图象和性质.

作业

提升能力

引入

举例

（1）log23.4，log23.8；

（2）log0.51.8，log0.52.1；

（3）loga5.1，loga5.9；

（4）log75，log67.

请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习.

（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）

例2 判断函数

f（x）=ln（－x）的奇偶性.

例3（1）证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数；

（2）问：函数f（x）=log2（x2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？

例4 已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1.

（1）求f（x）；

（2）求证：f（x）是奇函数；

（3）求证：f（x）在R上为增函数.

课堂练习

课本P85练习3.

于是log23.4＜log23.8.

（2）对数函数y=log0.5x在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，

于是log0.51.8＞log0.52.1.

（3）当a＞1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，

于是loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，

于是loga5.1＞loga5.9.

（4）因为函数y=log7x和函数y=log6x都是定义域上的增函数，

所以log75＜log77=1=log66＜log67.

所以log75＜log67.

小结：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.

例2解：∵＞x恒成立，

故（x）的定义域为（－∞，+∞），

又∵f（－x）=ln（+x）

=－ln

=－ln

=－ln（－x）

=－f（x），

∴f（x）为奇函数.

在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和

f（－x）之间的关系.

f（x）为奇函数

f（－x）=－f（x）

f（x）+f（－x）=0

=－1〔f（x）≠0〕，

f（x）为偶函数f（－x）=f（x）

f（－x）－f（x）=0

=1〔f（x）≠0〕.

在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.

例3分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.

（1）证明：设x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）=log2（x12+1）－log2（x22+1），

∵0＜x1＜x2，

∴x12+1＜x22+1.

又∵y=log2x在（0，+∞）上是增函数，

∴log2（x12+1）＜log2（x22+1），

即f（x1）＜f（x2）.

∴函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数.

（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.

小结：利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.

例4分析：利用换元法，可令t=logax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.

（1）解：设t=logax，则t∈R，

∴x=at（x＞0）.

则f（t）=

=（at－a－t）.

（2）证明：∵f（－x）

=（a－x－ax）

=－（ax－a－x）

=－f（x），

∴f（x）为奇函数.

（3）证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=[

（a－a－）－（a－a－）］

=[（a－a）+a－a－（a－a）］

=（a－a）（1+a－a－）.

若0＜a＜1，则a2－1＜0，a＞a，

∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数；

若a＞1，则a2－1＞0，a＜a.

∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数.

综上，a＞0，且a≠1时，y=f（x）是增函数.

课堂练习答案：

（1）＜  （2）＜

（3）＞  （4）＞

总结

作业

提升能力

意图

引入

2.指数式与对数式比较.

3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象.

概念

指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.

课堂练习：

求下列函数的反函数：

（1）y=0.2－x+1；

（2）y=loga（4－x）.

师：请同学仿照上述过程，说明对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）和指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）互为反函数.

生：在函数x=logay中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=logay中的字母x、y，把它写成y=logax.这样，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数.

由上述讨论可知，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=ax（x∈R）也是对数函数y=logax（x∈（0，+∞））的反函数.因此，指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.

课堂练习答案

（1）；

（2）

（a＞0，a≠1）.

（1）求函数的定义域与值域；

（2）求函数的单调区间；

（3）证明函数图象关于y=x对称.

例2 已知函数f（x）=（）x（x＞0）和定义在R上的奇函数g（x）.当x＞0时，g（x）=f（x），试求g（x）的反函数.

例3 探究函数y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系.

解：（1）1－ax＞0，即ax＜1，

∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）.

令t=1－ax，则0＜t＜1，而y=loga（1－ax）=logat.

∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）.

（2）∵a＞1时，t=1－ax在（－∞，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增，

∴y=loga（1－ax）在（－∞，0）上单调递减.

∵0＜a＜1时，t=1－ax在（0，+∞）上单调递增，而y=logat关于t单调递减，

∴y=loga（1－ax）在（0，+∞）上单调递减.

（3）∵y=loga（1－ax），

∴ay=1－ax.

∴ax=1－ay，x=loga（1－ay）.

∴反函数为y=loga（1－ax），即原函数的反函数就是自身.

∴函数图象关于y=x对称.

例2分析：分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f（x）为奇函数，故应考虑x＞0，x＜0，x=0三种情况.

解：∵g（x）是R上的奇函数，

∴g（－0）=－g（0），g（0）=0.

设x＜0，则－x＞0，∴g（－x）=（）－x.

∴g（x）=－g（－x）=－（）－x=－2x.

∴g（x）=

当x＞0时，由y=（）x

得0＜y＜1且x=logy，

∴g－1（x）=logx（0＜x＜1＝；

当x=0时，由y=0，得g－1（x）=0（x=0）；

当x＜0时，由y=－2x，

得－1＜y＜0，且x=log2（－y），

∴g－1（x）

=log2（－x）（－1＜x＜0＝.

综上，g（x）的反函数为

g－1（x）=

例3分析：函数的图象实际上是一系列点的集合，因此研究函数

y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系可以转化为研究两个函数图象上对应点的坐标之间的关系.

解：将对数函数y=log3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y=log3（x+2）的图象.

小结：由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x+a）的图象的变化规律为：

当a＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向左平移a个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象；

当a＜0时，只需将函数y=f（x）的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象.

（2）由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x）+b的图象的变化规律为：

当b＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向上平移b个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象；

当b＜0时，只需将函数y=f（x）的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象.

掌握根据奇偶性求函数表达式.

掌握函数图象之间的变换关系

总结

（2）求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质.应熟练掌握对数函数的相关性质.

作业

提升能力