2015年苏州市中考数学试卷及答案

数    学

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．

1．2的相反数是

A．2    B．    C．2    D．

2．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为

A．3    B．5    C．6    D．7

3．月球的半径约为1 738 000m，1 738 000这个数用科学记数法可表示为

A．1.738×106    B．1.738×107    C．0.1738×107    D．17.38×105

4．若，则有

A．0＜m＜1    B．-1＜m＜0    C．-2＜m＜-1    D．-3＜m＜-2

5．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：

A．0.1    B．0.4    C．0.5    D．0.9 

6．若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为

A．0    B．-2    C． 2    D．-6

7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为

A．35°    B．45°    C．55°    D．60°

8．若二次函数y=x2+bx的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为

A．    B．    C．    D． 

9．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为

A．    B．    C．    D． 

10．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为

A． km    B． km    C． km    D． km

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．

11．计算： =  ▲  ．

12．如图，直线a∥b，∠1=125°，则∠2的度数为  ▲  °．

13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为  ▲  名．

14．因式分解： =  ▲  ．

15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为  ▲  ．

16．若，则的值为  ▲  ．

17．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为  ▲  ．

18．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为  ▲  ．

三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．

19．（本题满分5分）

计算：．

20．（本题满分5分）

解不等式组： 

21．（本题满分6分）

先化简，再求值：，其中．

22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？

23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．

（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是  ▲  ；

（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．

24．（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC＝50，求、的长度之和（结果保留）．

25．（本题满分8分）如图，已知函数（x＞0）的图像经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．

（1）若AC=OD，求a、b的值；

（2）若BC∥AE，求BC的长．

26．（本题满分10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．

（1）求证：ED∥AC；

（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为，△ADC的面积为，且，求△ABC的面积．

27．（本题满分10分）如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC． 

（1）∠ABC的度数为  ▲  °；

（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．

（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了 ▲ cm（用含a、b的代数式表示）；

（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；

（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．

2015年苏州市初中毕业暨升学考试

数学试题答案

一、选择题

1．C    2．B    3．A    4．C     5．D

6．B    7．C    8．D    9．A    10．B

二、填空题

11．    12．55    13．60    14． 

15．    16．3    17．27    18．16

三、解答题

19.解：原式 ＝ 3+51 ＝ 7． 

20.解：由，解得， 

由，解得， 

∴不等式组的解集是． 

21.解：原式＝＝． 

当时，原式＝． 

22.解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗． 

根据题意，得． 

解这个方程，得x=25．经检验，x=25是所列方程的解． ∴x+5=30． 

答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗． 

23.解：（1）． （2）用表格列出所有可能的结果： 

第二次

∴P（两次都摸到红球）==． 

24.证明：（1）由作图可知BD=CD． 

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC． 

解：（2）∵AB=AC，BAC=50°，∴∠ABC＝∠ACB=65°． 

∵BD= CD = BC，∴△BDC为等边三角形．

∴∠DBC＝∠DCB=60°． 

∴∠DBE＝∠DCF=55°． 

∵BC=6，∴BD= CD =6．

∴的长度=的长度=． 

∴、的长度之和为． 

25．解：（1）∵点B（2，2）在的图像上，

∴k=4，． 

∵BD⊥y轴，∴D点的坐标为（0，2），OD=2． 

∵AC⊥x轴，AC=OD，∴AC=3，即A点的纵坐标为3． 

∵点A在的图像上，∴A点的坐标为（，3）．

∵一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，

∴  解得 

（2）设A点的坐标为（m，），则C点的坐标为（m，0）．

∵BD∥CE，且BC∥DE，∴四边形BCED为平行四边形． 

∴CE= BD=2． 

∵BD∥CE，∴∠ADF=∠AEC． 

∴在Rt△AFD中，tan∠ADF=，

在Rt△ACE中，tan∠AEC=，

∴，解得m=1． 

∴C点的坐标为（1，0），BC=． 

26．证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD =∠DAC． 

∵∠E=∠BAD，∴∠E =∠DAC． 

∵BE∥AD，∴∠E =∠EDA．

∴∠EDA =∠DAC． 

∴ED∥AC． 

解：（2）∵BE∥AD，∴∠EBD =∠ADC． 

∵∠E =∠DAC， 

∴△EBD∽△ADC，且相似比．    

∴，即． 

∵，∴，即． 

∴． 

∵，∴． 

27．解：（1）45． 

     理由如下：令x=0，则y=-m，C点坐标为（0，-m）．

令y=0，则，解得，．

∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，

∴B点坐标为（m，0）．∴OB=OC=m．

∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．

（2）解法一：如图，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，

由题意得，抛物线的对称轴为． 

设点P坐标为（，n）．

∵PA= PC， ∴PA2= PC2，即AE2+ PE2=CD2+ PD2．

∴． 

解得．∴P点的坐标为． 

解法二：连接PB．

由题意得，抛物线的对称轴为． 

∵P在对称轴l上，∴PA=PB．

∵PA=PC，∴PB=PC．

∵△BOC是等腰直角三角形，且OB=OC，

∴P在BC的垂直平分线上． 

∴P点即为对称轴与直线的交点．

∴P点的坐标为． 

（3）解法一：存在点Q满足题意．

∵P点的坐标为，

∴PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2

=．

∵AC2=，∴PA2+ PC2=AC2．∴∠APC＝90°． 

∴△PAC是等腰直角三角形．

∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，

∴△QBC是等腰直角三角形． 

∴由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）．

如图，当Q点的坐标为（-m，0）时，

若PQ与x轴垂直，则，解得，PQ=．

若PQ与x轴不垂直，

则．

∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．

∵＜，

∴当，即Q点的坐标为（，0）时， PQ的长度最小． 

如图，当Q点的坐标为（0，m）时，

若PQ与y轴垂直，则，解得，PQ=．

若PQ与y轴不垂直，

则．

∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．

∵＜，

∴当，即Q点的坐标为（0，）时， PQ的长度最小． 

综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小．

解法二： 如图，由（2）知P为△ABC的外接圆的圆心．

∵∠APC 与∠ABC对应同一条弧，且∠ABC＝45°，

∴∠APC＝2∠ABC＝90°． 

下面解题步骤同解法一．

28．解：（1）a+2b． 

（2）∵在整个运动过程中，点P移动的距离为cm，

圆心O移动的距离为cm，

由题意，得．    

∵点P移动2s到达B点，即点P用2s移动了bcm，

点P继续移动3s，到达BC的中点，即点P用3s移动了cm．

∴．            

由解得 

∵点P移动的速度与⊙O 移动的速度相等，

∴⊙O 移动的速度为（cm/s）．

∴这5s时间内圆心O移动的距离为5×4=20（cm）．

（3）存在这种情形．

解法一：设点P移动的速度为v1cm/s，⊙O移动的速度为v2cm/s，

由题意，得． 

如图，设直线OO1与AB交于点E，与CD交于点F，⊙O1与AD相切于点G．

若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H．

易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．

∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD．

∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP． 

设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20-x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，可得，

即，解得．

∴此时点P移动的距离为（cm）．

∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD．

∴，即．

∴EO1=16cm．∴OO1=14cm． 

①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm，

∴此时点P与⊙O移动的速度比为．

∵，

∴此时PD与⊙O1不可能相切． 

当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），

∴此时点P与⊙O移动的速度比为．

∴此时PD与⊙O1恰好相切． 

解法二：∵点P移动的距离为cm（见解法一），

OO1=14cm（见解法一），，

∴⊙O应该移动的距离为（cm）．

①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm≠18 cm，

∴此时PD与⊙O1不可能相切． 

当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），

∴此时PD与⊙O1恰好相切． 

解法三：点P移动的距离为cm，（见解法一）

OO1=14cm，（见解法一）

由可设点P的移动速度为5k cm/s，⊙O的移动速度为4k cm/s，

∴点P移动的时间为（s）．

①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为，

∴此时PD与⊙O1不可能相切． 

当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为，

∴此时PD与⊙O1恰好相切．