ARIMA模型建立与应用

一、实验项目：ARIMA模型建立与预测。

二、实验目的

1、准确掌握ARIMA(p,d,q)模型各种形式和基本原理；

2、熟练识别ARIMA(p,d,q)模型中的阶数p,d,q的方法；

3、学会建立及检验ARIMA(p,d,q)模型的方法；

4、熟练掌握运用ARIMA(p,d,q)模型对样本序列进行拟合和预测；

三、预备知识

（一）模型

1、AR（p）(p阶自回归模型）

其中ut白噪声序列，δ是常数（表示序列数据没有0均值化）

AR（p）等价于

AR（p）的特征方程是： 

AR（p）平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。

2、MA（q）（q阶移动平均模型）

其中{ut}是白噪声过程。

MA（q）平稳性

MA（q）是由ut本身和q个ut的滞后项加权平均构造出来的，因此它是平稳的。

MA（q）可逆性（用自回归序列表示ut）

可逆条件：即收敛的条件。即Θ（L）每个特征根绝对值大于1，即全部特征根在单位圆之外。

3、ARMA（p，q）（自回归移动平均过程）

ARMA（p，q）平稳性的条件是方程Φ（L）=0的根都在单位圆外；可逆性条件是方程Θ（L）=0的根全部在单位圆外。

4、ARIMA（p，d，q）（单整自回归移动平均模型）

差分算子：

对d阶单整序列xt~I(d)

则wt是平稳序列，于是可对wt建立ARMA（p，q）模型，所得到的模型称为xt~ARIMA（p，d，q），模型形式是

由此可转化为ARMA模型。

（二）模型识别

要建立模型ARIMA（p，d，q），首先要确定p，d，q，步骤是：一是用单位根检验法，确定xt~I（d）的d；二是确定xt~ AR（p）中的p；三是确定xt~ MA（q）中的q。平稳序列自相关函数

ρ0=1，ρ-k=ρk（对称）

1、平稳AR(p)的自相关系数和偏自相关系数

（1）平稳AR(p)的自相关系数

｜φi｜<1，i=1,2,…,p，E(ut)=0

，k>0

，k>0

平稳AR(p)的自相关系数是

，k>0

（2）k阶平稳自回归过程AR(k)的偏自相关系数

两边同除以γ0

对任意j>0都成立。根据和对称性，得到Yule-Walker方程组

对于给定的k，ρ1,ρ2,…,ρk已知，每个方程组最后一个解就是相应的偏自相关系数：φ11，φ22的,…,φkk。

ρ3是k=3的自相关系数，意义：度量平稳序列xt与xt-3的相关系数，至于中间xt-1，xt-2起什么作用无法顾及。

φ33的k=3的偏自相关系数。意义：剔除中间变量xt-1，xt-2的影响后，度量xt与xt-3的相关程度。

2、平稳MA(q)的自相关系数和偏自相关系数

（1）MA(q)自相关系数

当k>q时，ρk=0，xt与xt+k不相关，这种现象称为截尾，因此可根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶数q。

（2）MA(q)偏自相关系数

MA(q)模型对应一个AR（∞），通过AR（∞）来解决

3、ARMA（p，q）有拖尾特征，p和q的识别通过从低阶逐步试探直到合适的模型为止。

（三）模型估计

用Eviews软件进行估计

（四）模型检验

1、用t统计量检验模型参数显著性；

2、为保证ARMA（p，q）的平稳性和可逆性，模型特征根皆应在单位圆以外，或倒数在单位圆内；

3、用Q统计量对残差进行白噪声检验。

原假设和备择假设

（序列不存在自相关，是白噪声）

不全为0（序列存在自相关，不是白噪声）

统计量

其中上述r是样本相关系数，T是样本容量，分布是极限分布。K是自相关系数的个数，即最大滞后期。若样本较大，则K=[T/10]或T的平方根；若样本较小，则K=[T/4]。

判别规则是：

接受原假设，

拒绝原假设。

（五）模型外推预测

已有ARMA（p，q）模型

和观察值Xt，Xt-1，Xt-2，…，X1。把观察值代入，在t+1时刻有

上式中，观察值已知，只有误差处理问题。

下标大于t的误差项，由于未来的误差未知，因此用期望值0代替未来的误差。下标从1到t的误差项，可用残差估计值（要建模时可找到）代替。于是

1步预测公式：

类似地，2步预测公式和l步预测公式分别是：

    其中，h-p<=0时，；h-q>0时， 

四、实验内容

1、ARIMA(p，d，q)模型阶数识别；

2、ARIMA(p，d，q)模型估计与检验；

3、ARIMA(p，d，q)模型外推预测。

五、实验软件环景：Eviews软件。

六、实验步骤：按、以美元对欧元汇率1993.1到2007.12的月均价数据为例进行实验。

（一）创建Eviews工作文件（Workfile）

从Eviews主选单中选“File/New\ Workfile”，选择“monthly”选项，输入“Start date:1993:01End date:2007:12”。

（二）录入数据，并对序列进行初步分析

1、导入数据

Quick/Empty Group

在Ser01输入数据；改变量名：点击Ser01全选第一列，在命令栏输入EURO。将文件保存命名，注意存放地址。

2、序列初步分析

选定变量EURO，双击它，View\\Graph\\Line，输出EURO的曲线

从图形看到美元对欧元汇率在2001年左右处于高位，2002年以后一直处于下跌态势。数据总体上类似于随机游走过程形式，应该是非平稳的。

（三）ARIMA(p，d，q)模型阶数识别

1、确定单整阶数d

（1）用不含时间趋势项、解释变量中不含差分项的模型，即对模型进行单位检验（Unit Root Test）。假设；备择假设。

在工作文件窗口，选定变量EURO，双击它，在EURO页面上，点击View\\Unit Root Test\\ADF，表示已经进入扩展的DF检验。选择Level(对水平变量进行单位根检验，检验系数对应的项EUROt-1)\\Intercept(不含时间趋势变量)\\Automatic selecttion（解释变量不含EUROt-1的差分），并且在maximum中选择0（表示差分滞后项数取0，即不含EUROt-1的差分）

t=（0.511990）（-0.583908）

p=（0.6093）    （0.5600）

要确定差分方程的样本容量T，原有的样本容量是180，差分后样本容量是T=179；取α=5%，查附表2，得临界值τ=-2.88；统计量观察值为t=-0.583908>τ=-2.88，所以接受假设(从概率值大于0.05也得到接受的结论)，即认为汇率序列（EURO）是非平稳的。

（2）对模型，作假设；备择假设。

在工作文件窗口，选定变量euro，双击，在euro页面上，点击View\\Unit Root Test\\ADF，表示已经进入扩展的DF检验。选择1st different(对1阶差分进行单位根检验，检验系数对应的项是Δeurot-1)\\Intercept(不含时间趋势变量)\\User  specifi 取0（解释变量不含Δeurot-1的差分）。得到结果

t=（-0.439553）（-9.676555）

p=（0.6608）    （0.0000）

取α=5%，求样本容量T，原来样本容量是180，2阶差分分后T=178，查附表2，得DF检验的临界值为τ=-2.88，

对Δeuro平稳性检验的统计量观察值为t=-9.676555<τ=-2.88，所以拒绝假设，即认为个人可支配收入一阶差分时间序列（Δeuro）是平稳的。

即Δeuro~I（0），因此euro~I（1），即euro是一阶单整的，从而d=1。

2、确定自回归阶数p和移动平均阶数q

因为d=1，所以用euro1阶差分Δeuro的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）判断p和q值。

生成Δeuro

GENR deuro=euro-euro(-1)

（也可以在1st different实现）

在deuro页面上，选View\\Correlogram\\Level 

Deuro的偏自相关函数（PACF）系数在1为0.310，2处为期不远0.205，但是从3以后明显接近0，所以取p=2。

Deuro的自相关函数（ACF）在1为0.310，但是从2以后明显接近0，所以取q=1。

至于p和q的最终确定还要从低开始试探，直到定出合适的模型为止。初步适合EURO的模型有：

ARIMA(1，1，0)、ARIMA(2，1，0)、ARIMA(0，1，1)、ARIMA(1，1，1)、ARIMA(2，1，1)。

（四）ARIMA(p，d，q)模型估计与检验

（1）ARIMA(1，1，0) 模型估计与检验

Quick\\Estimate\\LS(NLS and ARMA)

在对话框输入d(euro) c ar(1)

常数c的概率太大（0.6606），接受c=0的假设，所以模型应该去掉常数。

Quick\\Estimate\\LS(NLS and ARMA)

在对话框输入d(euro) ar(1)

模型为：

t=(4.343228)

p=(0.0000)

从p值看，系数是显著的。从Inverted AR Roots（自回归特征方程根的倒数）是0.31，在单位圆之外，说明模型是平稳的。但还要对残差进行白噪声检验：

在Quick\\Estimate\\LS(NLS and ARMA)

在对话框输入d(euro) ar(1)

OK出结果的页面上

View\\Residual Tests\\Correlogram-Q-statistics

选K=13（由[178/10]或178平方根来）

类似地，对模型ARIMA(2，1，0)、ARIMA(0，1，1)、ARIMA(1，1，1)、ARIMA(2，1，1)进行估计与检验。

ARIMA(1，1，0)，ARIMA(2，1，0)、ARIMA(0，1，1)三个检验都通过参数显著性检验，模型平稳性和可逆性检验，残差序列白噪声检验。

但是模型ARIMA(1，1，1)、ARIMA(2，1，1)没有通过检验。

模型评价与比较

即

（五）模型外推应用

已知2007：12，2007：1，2007：10的汇率分别是：0.68686，0.68111，0.70249，利用ARIMA(2，1，0)模型对2008年1月美元对欧元汇率进行预测。