正弦定理习题及答案

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin B＝2，sin A＝，则b的值为(　　)

A．2　　　　　　　　　　　　    B．4

C．6      D．8

解析：　由正弦定理得b＝＝＝4.

答案：　B

2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC是(　　)

A．等边三角形      B．等腰三角形

C．直角三角形      D．锐角三角形

解析：　∵sin2A＝sin2B＋sin2C.

∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2

∴△ABC是直角三角形．

答案：　C

3．在△ABC中，若A＝60°，C＝75°，b＝6，则a等于(　　)

A.      B．2

C.      D．3

解析：　∵B＝180°－(60°＋75°)＝45°，

∴a＝＝＝3.

答案：　D

4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是(　　)

A．b＝10，A＝45°，B＝70°      B．a＝60，c＝48，B＝100°

C．a＝7，b＝5，A＝80°      D．a＝14，b＝16，A＝45°

解析：　D中，bsin A＝8，a＝14，所以bsin A答案：　D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．

解析：　∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，

∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，

设＝＝＝k，

则a＝ksin A＝k，b＝ksin B＝k，c＝ksin C＝.

∴a∶b∶c＝2∶∶1.

答案：　2∶∶1

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，A＝60°，则tan B＝________.

解析：　由正弦定理得sin B＝＝×＝，

根据题意，得b故Bcos B＝＝.

故tan B＝＝.

答案：　

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．(1)在△ABC中，已知A＝30°，a＝，b＝2，求B.

(2)在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝2，求B.

解析：　(1)在△ABC中，由正弦定理可得＝，

解得sin B＝

∵b>a，∴B>A.

∴B＝45°或135°.

(2)在△ABC中，由正弦定理可得＝，

解得sin B＝，

∵b∴B＝45°.

8．在△ABC中，若sin B＝＝，且B为锐角，试判断△ABC的形状．

解析：　∵sin B＝，且B为锐角，

∴B＝45°.

∵＝.

∴由正弦定理得＝，

又∵A＋C＝135°，

∴sin(135°－C)＝sin C，

整理得cos C＝0.

∴C＝90°，A＝45°.

∴△ABC是等腰直角三角形．

  ☆☆☆

9．(10分)△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acos A＝bcos B，求的取值范围．

解析：　∵acos A＝bcos B，

∴sin Acos A＝sin BcosB，

∴sin 2A＝sin 2B.

∵2A,2B∈(0,2π)，

∴2A＝2B或2A＋2B＝π，

∴A＝B或A＋B＝.

如果A＝B，则a＝b不符合题意，

∴A＋B＝.

∴＝＝sin A＋sin B＝sin A＋cos A

＝sin(A＋)，

∵a≠b，C＝，

∴A∈且A≠，

∴∈(1，)．