2013年浙江省高三名校交流模拟卷(理科)数学(含详细解析)2012.4

              理科数学 

一﹑选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.设集合,集合,则           (   )

A.          B．        C．          D. 

2.已知复数,是的共轭复数,则                                  (   )

A.          B.         C．      D． 

3.若抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为3,则此抛物线的方程为:                                                                    (   )

A.          B.         C．      D．或

4.设是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则下列说法正确的是            （ 　）

A. 过一定存在平面,使得       B. 过一定不存在平面,使得 

C. 在平面内一定存在直线，使得D. 在平面内一定不存在直线，使得

5.某几何体的三视图如图，若各视图均为边长为2的正方形，则这个

几何体的体积是                                       (   )

A.            B.             C.              D. 

6.设实数满足，若的最小值为2,

则的值为                                         （   ）

A．         B．0           C．1             D．2

7.已知数列共有,且满足, ,若的前8

项和,则满足条件的数列的个数为                               (    )

A. 37                B．38               C．70                   D．322 

8.已知为锐角,则“且”是“”的           (    )

A. 充分必要条件                              B. 必要而不充分条件

C. 充分而不必要条件                          D. 既不充分也不必要条件

9.若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上,则双曲线的离心率为         (    )

A.               B．              C．2                D． 

10.若（其中为整数），则称为离实数最近的整数，记作，即.设集合,，若集合的子集恰有两个,则的取值不可能是                        （    ）

A.      B.       C.      D. 

二.填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)

11.已知函数为奇函数,若,则      ．

12.若,则二项式的展开式中常数项的

值为           ．

13.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果是         ． 

14.若，则         ．

15.设袋中有8个形状﹑大小完全相同的小球,其中2个球上标有数字0,

3个球上标有数字1,另3个球上标有数字2.现从中任取3个球,用随机

变量表示这3个球上数字的最大值与最小值之差.则的数学期望

           ． 

16.向量满足:, ,在上的投影为, ,

，则的最大值是           ．

17.已知函数.若恒成立,则的取值范围是          ．

三.解答题(本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明﹑证明过程或演算过程)

18.(本小题满分14分)在中，角的对边分别为.已知，.

（1）求的值；

（2）分别求的取值范围及的取值范围.

19. (本小题满分14分)设等差数列公差为(),等比数列公比为,若分别为的前三项,且.

（1）求数列,的通项公式；

（2）若数列满足： ，求数列的前项和.

20. (本小题满分14分)在如图（1）所示的等腰梯形中，，，，分别为，，的中点，现将沿翻折至图（2）的位置

（点翻至点），为的中点.

（1）求证：平面；

（2）当异面直线与所成角为时，

求二面角的余弦值.

21. (本小题满分15分)设椭圆，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为.的面积为,以为直径的圆的面积分别为.若恰好构成等比数列,求的取值范围.

22. (本小题满分15分)设,.

(1)若，求的单调区间；

(2)讨论在区间上的极值点个数；

(3)是否存在，使得在区间上与轴相切?若存在，求出所有的值.若不存在，说明理由.

              参及详细解析

一.选择题:1.C  2.A   3.D   4.C   5.B   6.C   7. B    8. A    9.D    10.B

1.C  化简得：，，结合数轴可知：只有C正确. 故选C

2.A  , ,则.故选A

3.D  设抛物线上纵坐标为的点的横坐标为，则有： 且，消去得：，解得或.故此抛物线的方程为或.故选D

4.C  在A选项中，若直线在平面内,则不存在平面使得,故A错误

在B选项中，过直线一定存在平面使得,故B错误

在 D选项中，若直线,则在平面内存在直线使得,故C错误

只有C选项是正确的. 故选C

5.B  该几何体是以正方体的六条面对角线为边

构成的正四面体，也可看作是正方体被截去四个墙角后留下的

几何体，由间接法计算其体积得：.

故选B

6.C  方法一：检验选项.

对A选项：直线过点时，，

对B选项：直线过点时，，

对C选项：直线过点时，，

对D选项：直线过点时，.故选C

     方法二：特殊点带入检验.当取到最值时，直线必过可行区域中三角形的某个顶点，故可以把三个顶点，，逐一代入检验，结果只有正确. 故选C

7.B   以中出现的个数作为对象来讨论.（1）若中没有（即全为1），则中只有一个1，数列种数为.（2）若中有一个（即还有两个1），则中有三个1，数列种数为.（3）若中有两个（即还有一个1），则中有五个1，数列种数为.综上：数列种数共有.故选B

8.A   由于为锐角，注意到“或”时均有：“”，反之也成立.不妨设的解为，设的解为.结合图像由单调性可知且的解为： (关于对称)，故（），由于，故成立，即充分性成立.由于为锐角，故以上过程可逆推，即必要性也成立.综上得：“且”是“”的充分必要条件.故选A

9.D  方法一：如图所示，设双曲线的方程为，

两焦点分别为,.且关于其中一条渐近线的对称点

为，的中点为.因为为的中点,为

的中点且，故为直角三角形. 不妨

设，，则有：，

消去可得：，故，即：.

方法二：在中，，，.为的中位线， ，，故，得：，，即：.故选D

10.B  分析可知是周期为1的周期函数，

且当时：.作图如下：

  集合的子集恰有两个，即中只有一个元素.注意到与必有一个公共点，故逐一检验：选项表示的抛物线均与直线相切于原点，且与函数无其余公共点，选项表示的抛物线与相交，但交点也只有一个. 选项表示的抛物线与相交，交点有两个，分别为及.故选B

二.填空题:

11.  12. 6  13.或14.  15.  16. 17. 

11.由得，又为奇函数，故， 

12. 6   若,无解舍去.故，即,展开式通项为：，令得，故常数项值为6

13.2   初始值.程序运行一次后得，运行二次后得.，运行三次后得，运行四次后得，……..（往后依次重复出现前四次的值），由于，故. 

14.  方法一：注意到，故

方法二：，即，即

所以，故

15.  由题知.且，

，，

故++=.

16.  不妨设向量有相同的起点，终点分别为.由在上的投影为知，由知：在以为直径的圆上.  故当向量过中点时，其模最大，此时： =（）=，

由知，在以为圆心，1为半径的圆上，故当共线时最大，故==

17.  

方法一： 

，

首先，可看作单位圆上点与反比例函数上点之间距离的平方，结合图形易得：当，时取到最小值1.其次，可看作关于的二次函数，当，即时函数取到最小值.两式相加即得的最小值为，当且仅当时取到.故，即

方法二: 

数形结合可得:当,时, ，即

方法三： 

（合一变形后根据三角有界性得到）

令，，

，

在上单调递增，故.即： ，即.

三.解答题

18.解: (1) ,……3分

 ……5分

(2)由,得:.由正弦定理,变形得:,……7分

,,当且仅当时,等号成立……9分

解法一:由余弦定理得,

故,……11分

又因为,……12分

故.当且仅当时等号成立. ……14分

解法二:由正弦定理得:, 

故……11分

,……13分

当且仅当时等号成立. ……14分

解法三: 

当且仅当时等号成立. ……14分

解法四: (建坐标系,过程略)

19.解:(1).设等差数列的首项为,则由成等比数列可得:

,化简得:, , , ……4分

故的前三项为:,即:,又,……6分

故,  ……7分

(2).当时, , 当时, ,故.…9分

即:.故①. 

②.

由①-②得: 

……13分

故: .……14分

20. 如图（1）所示的等腰梯形中，由平面几何方法，     

过两点分别作的垂线，结合已知条件经计算易得：

.故,及均为正三角形，且三点

在一条直线上.易得且.……2分

(1).解法一:在图（2）中，连接， ,分别为,

的中点,故，又，故面面，

又，故平面.……6分

解法二:连接交于,连,易得为的中点,故为的中位线, ,故平面.……6分

(2)以为坐标原点，，所在射线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.显然为二面角的平面角，设，

则有：，，，.……8分

为的中点，故，

，，

，……11分

异面直线与所成角为，

故==……13分

解得: ……14分

21.解：（1）由题可知，且，解得：，……3分

故椭圆的方程为：……5分

（2）设直线的方程为，， 

由可得，由韦达定理有：

且……7分

构成等比数列， =，即： 

由韦达定理代入化简得：.， .……9分

此时，即.

故

……11分

又

为定值. ……13分

当且仅当时等号成立.

综上： ……15分

22.解：（1）当时：，（）

故……2分

当时：，当时：，当时：.

故的减区间为：，增区间为……4分

（2）

令，故, ,…6分

显然，又当时：.当时：.

故， ，.

故在区间上单调递增，……7分

注意到：当时， ，故在上的零点个数由的符号决定. ……8分

①当，即：或时：在区间上无零点，即

无极值点.

②当，即：时：在区间上有唯一零点，即

有唯一极值点.

综上：当或时：在上无极值点.

当时：在上有唯一极值点. ……10分

（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，由（2）可知：.不妨设极值点为，则有：

…(*)同时成立. ……11分

联立得：，即代入（*）可得.

令，.……12分

则，，当时

（2）.故在上单调递减.又，.故在上存在唯一零点.

即当时，单调递增.当时，单调递减.

因为，.

故在上无零点，在上有唯一零点. ……14分

由观察易得，故，即：.

综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切. ……15分

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