江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如果命题，命题，那么命题是命题的（    ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

2．在平面内，到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（    ）

A．抛物线 ．双曲线 ．椭圆 ．直线

3．在等差数列中，，则（    ）

A．2 ．3 ．4 ．5

4．等比数列的各项均为正实数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝，则S5＝（    ）

A．32 ．31 ． ．63

5．若椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ）

A．5 ．2 ．2或9 ．5或7

6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ）

A．184 ．174 ．188 ．160

7．已知数列满足，.设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（    ）

A． ． ． ．

8．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ）

A．9 ．10 ．11 ．12

二、多选题

9．设等差数列的前项和为．若，，则（    ）

A． ． ． ．

10．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的方程为 ．双曲线的离心率为

C．曲线经过双曲线的一个焦点 ．焦点到渐近线的距离为

11．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．“”是“”的充分不必要条件

C．“”是“成等比数列”的充要条件

D．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件

12．已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（    ）

A．爆炸点在以为焦点的椭圆上

B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上

C．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米

D．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米

三、填空题

13．命题“”的否定是____________．

14．椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是___________.

15．已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________.

16．如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的异侧，在移动过程中，当取得最大值时，的面积为___________.

四、解答题

17．已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）已知，求数列的前项和.

18．已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.

（1）若是真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

19．已知直线与椭圆交于两点.

（1）在，条件下，求的面积的最大值；

（2）当，时，求直线的方程.

20．已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

21．某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：

假设1.传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性.潜伏期时间记为m0，以潜伏期时间m0为一个传染周期；

假设2.记r0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；

假设3.某一固定区域(如某个城市)的人群，保持原有的生活习惯，即r0不变.

（1）第一模型：无干预模型.在上述模型假设中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，…，请问9天后感染总人数是多少？

（2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：

假设4.和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；

假设5.潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；

在第二模型中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？

(参考数据：).

22．已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上两点(异于顶点)，且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值；

（3）设直线与椭圆交于两点(直线不过顶点)，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.

参

1．A

【解析】

【分析】

根据包含关系确定正确选项.

【详解】

由于，所以命题是命题的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

2．A

【解析】

【分析】

确定的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得出结论．

【详解】

解：动点到定点的距离与到定直线的距离相等，

所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

故选：．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．

3．C

【解析】

【分析】

先求得，然后求得.

【详解】

依题意，在等差数列中，，所以，

所以.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

4．B

【解析】

【分析】

根据已知条件求得数列的首项和公比，由此求得.

【详解】

依题意，即，解得，

所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查等比数列通项公式和前项和公式.

5．D

【解析】

【分析】

由已知可得的范围，然后分椭圆焦点在轴与轴求解，结合已知列式求得值．

【详解】

由题意，，即．

若椭圆焦点在轴上，则，，，

由已知可得，解得；

若椭圆焦点在轴上，则，，，

由已知可得，解得．

实数的值为5或7．

故选：．

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础的计算题．

6．B

【解析】

【分析】

根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得.

【详解】

所以，

所以

.

所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.

7．C

【解析】

【分析】

由可知数列是公比为2的等比数列，，得，结合数列{bn}是单调递增数列，可得对于任意的*恒成立，参变分离后即可得解．

【详解】

由可知数列是公比为2的等比数列，

所以，

∵数列是单调递增数列，

∴对于任意的*恒成立，

即，整理得：

 ，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有：

一、利用数列单调性的定义，由得数列单增，得数列单减；

二、借助于函数的单调性研究数列的单调性.

8．D

【解析】

【分析】

由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解.

【详解】

设数列的公差为d，

因为，

所以，即，

因为，

所以，

所以，

当时，，当时，，

所以，

又因为，

所以，故中最大 ，

故选：D

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.

9．AC

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为，根据已知条件得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用等差数列的通项公式和求和公式可求得和.

【详解】

设等差数列的公差为，则，解得，

，.

故选：AC.

【点睛】

本题考查的等差数列的通项公式和前项和公式，一般要求出等差数列的首项和公差，考查运算求解能力，属于基础题.

10．ACD

【解析】

【分析】

根据已知条件求得，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.

【详解】

设双曲线方程为，将代入得.

双曲线的渐近线方程为，所以.

由解得，所以双曲线的方程为.

所以.

故A选项正确.

双曲线的离心率为，故B选项错误.

双曲线的焦点坐标为，其中满足，所以C选项正确.

双曲线一个焦点为，渐近线方程，即，

焦点到渐近线的距离为，故D选项正确.

故选：ACD

【点睛】

本小题主要考查双曲线的定义和标准方程，考查双曲线离心率和渐近线.

11．AB

【解析】

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】

A. 当 时，，故不充分；当时，两边同乘以，得，故必要，故正确；

B. 由，则，故充分；当” 时，或，故不必要，故正确；

C. 当“时，不成等比数列，故错误；

D. 由，当时，为递减数列，故不充分，故错误；

故选：AB

【点睛】

本题主要考查充分条件，必要条件和充要条件的判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

12．BD

【解析】

【分析】

结合椭圆、双曲线的定义判断AB选项的正确性.求得爆炸点到监测点的距离，由此判断CD选项的正确性.

【详解】

依题意，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，

设爆炸点为，则，所以爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上.所以A选项错误，B选项正确.

若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以，

即，结合可得.

所以C选项错误，D选项正确.

故选：BD

【点睛】

本小题主要考查双曲线的定义，属于基础题.

13．

【解析】

根据全称命题的否定为特称命题可得：“”的否定是，故答案为.

14．

【解析】

【分析】

根据椭圆的方程求得焦点的坐标，得到抛物线的焦点坐标，求得的值，即可求得抛物线的标准方程.

【详解】

由题意，椭圆，可得，则，

所以椭圆的右焦点为，即抛物线的焦点坐标为，

设抛物线的标准方程为，可得，即，

所以抛物线的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质的应用，以及抛物线的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及抛物线的标准方程的形式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

15．

【解析】

【分析】

根据题意作出图示，求解出的长度，然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率.

【详解】

如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.

因为，，所以，

所以，所以，

因为，所以，

即，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.

16．

【解析】

【分析】

由题意画出图形，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线的性质求得的轨迹为，再利用双曲线定义把取得最大值转化为取最大值，可得的位置，写出所在直线方程，联立直线方程与双曲线方程求得的纵坐标，再由三角形面积公式求解．

【详解】

解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则，，，

设的内切圆切、、分别于、、，

则，

点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，

且，，，

的轨迹方程为．

，

，

则，

则当为线段与双曲线右支的交点时，最大，

所在直线方程为，即．

联立，解得．

的面积为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查轨迹方程的求法，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，属于中档题．

17．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设公差为，由成等比数列，求得，然后可得通项公式；

（2）由等差数列前项和公式求得，用分组求和法求得，其中一组用裂项相消法求和，一组用等比数列的前项和公式求和．

【详解】

解：（1）设公差为，由成等比数列，

所以，所以，所以，所以．

所以；

（2）由（1）得，

所以

所以

所以．

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式，前项和公式，考查等比数列的性质、前项和公式，分组求和法，裂项相消法，考查了学生的运算求解能力．属于中档题．

18．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据方程为焦点在轴上的椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

（2）求得为真命题时的取值范围，结合是的必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

（1）若是真命题，所以，解得，

所以的取值范围是.

（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是，

为真命题时，，

所以的取值范围是

因为是的必要不充分条件，

所以，所以，等号不同时取得，

所以.

【点睛】

本小题主要考查椭圆、双曲线，考查必要不充分条件求参数.

19．（1）1；（2）.

【解析】

【分析】

（1）当时，，所以，两点关于轴对称，设，，列出的面积，然后，利用基本不等式求出最值

（2）当时，设，利用椭圆的弦长公式，联立方程求解即可

【详解】

（1）当时，，所以两点关于轴对称，设，

所以

所以

所以

当且仅当，即，等号成立，

所以的面积的最大值为1

（2）当时，设

，得

所以，

所以

又因为

所以

所以

所以直线的方程为

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系问题，以及求解椭圆中的弦长问题，属于基础题

20．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用求得数列的通项公式.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】

（1）因为，当时，，，故解得，

，

，

所以，

所以，

因为，所以，

所以(常数)，

所以是首项为1，公差为1的等差数列，

所以.

（2）由题得，

所以.

【点睛】

本小题主要考查已知求，考查错位相减求和法.

21．（1）1207万人；（2）29天后感染总人数将超过1000万.

【解析】

【分析】

（1）记为天后感染总人数，则，，进而求得的值，得到答案.

（2）根据等比数列的通项公式，求得，由天后总感染人数超过1000万，求得，再结合参考数值，即可求解.

【详解】

（1）记为天后感染总人数，则，，所以

即第9天后感染总人数是1207万人.

（2）记为第天收入医院的人数，所以，，

由题易得为首项为1，公比为1.2的等比数列，所以，

若天后总感染人数超过1000万，即，

所以，所以，

又因为，，

所以，所以，

即第29天后感染总人数将超过1000万.

【点睛】

本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，结合等差数列、等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

22．（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程，求得两点的横坐标，利用三角形的面积列方程，化简求得.

（3）将直线分成斜率存在和不存在两种情况，结合列方程，化简后判断出直线过定点.

【详解】

（1）由题得，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，

设直线，直线，

，所以，

同理得，

点到直线的距离，，

所以，

平方得，

所以.

（3）设，，

(i)直线的斜率存在时，设直线，

，得，

所以，

由题得，

所以，

化简得，

代入韦达定理得，

，

，

所以或，

当时，，定点为，为右顶点(舍).

当时，，定点为，满足题意.

(ii)直线的斜率不存在时，设直线，

，所以(不妨设在第一象限)，

又因为，

所以，

化简得，所以，

所以或(舍)，

所以，直线过点，

综上(i)(ii)所得直线过定点.

【点睛】

本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于难题.