17.2、实际问题与反比例函数(试题设计)

――能力题型设计

一、选择题

1．(重难点1)一个长方形的面积为28，则这个长方形的长与宽之间的函数关系是( )

A ．反比例函数

B ．正比例函数

C ．一次函数

D ．不能确定

答案：A 匡老师点拨：长方形的面积一定，则它的长与宽成反比例函数关系．

2．(重难点3)满足函数y =k (x －1)和函数了y= k x

(k ≠0)的图象大致是图17—2—1中的( )

A ．①或③

B ．②或③

C ．②或④

D ．①或④

答案：B 匡老师点拨：因为两个函数关系式中的k 表示同一个数，所以当k >0时，双曲线y= k x

经过第一、三象限，一次函数y =k (x －1)=kx －k 的图象呈“上升”趋势，且与y 轴的交点在原点下方；当k <0时，双曲线在第二、四象限，直线呈“下降”趋势，且与y 轴交点在原点的上方，由此可知②③正确，故选B ．

3．(重难点2)如图17—2—2，P 、Q 是反比例函数y= k x

(k < 0)的图象上任意两点，PP′、QQ′分别垂直x 轴于P ′、

Q′，则△OPP′与△O QQ′面积的大小关系是( )

A ．S △OPP′ = S △O QQ′

B ．S △OPP′ < S △O QQ′

C ．S △OPP′ > S △O QQ′

D ．无法确定

答案：A 匡老师点拨：S △OPP′ = S △O QQ′ = 12︱xy ︱= 12

︱y ︱． 二、填空题

4．(重难点1)某蓄水池的排水管每小时排水8 m 3，6 h 可将满池水全部排完，若增加排水管，使每小时的排水量达到Q m 3，那么将满池水排完所需的时间t (h)与Q(m 3)之间的函数关系式为 ．

答案：t = 48Q (Q >8) 匡老师点拨：由题意可知这个蓄水池的容积为6×8=48(m 3)，容积一定时，排水时间与每小时的排水量成反比例函数．

5．(易错点1)学校食堂有1 500 kg 的煤炭需运出，这些煤运出的天数y 与平均每天运出的质量x (kg)之间的函数关系式为 ．

答案：y = 1500x

6．(重难点2)实验表明，当导线的长度一定时，导线的

电阻与它的横截面积成反比例．一条长为100 km 的铅

导线的电阻R (Ω)与它的横截面积S (cm 2)的函数图象如

图17―2―2 图17―2―1

限时高效训练

答案：R= 29

S，14．5 匡老师点拨：先用待定系数法求出函数的解析式，再代入求值

三、解答题

v与全池水放完所用时间t如下表；

(1)写出放完水池中的水所用时间t(小时)与放水速度v(吨/小时)之间的函数关系式；

(2)这是一个反比例函数吗?

(3)反比例函数有可能是：当自变量为正数时，函数值随自变量的增大而减小，所有的反比例函数都是：当自变量为正数时，函数值随自变量的增大而减小吗?试举例说明．

答案：(1)t = 10

v(v >8)；(2)这是一个反比例函数；(3)不是所有的反比例函数都是“当自变量为正数时，函数

的值随自变量的增大而减小”，例如y=－4

x是反比例函数，当x为正数，x增大时，y也增大，也就是说反比

例函数y= k

x，当k < 0，x为正数时，函数的值随自变量的增大而增大

匡老师点拨：掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．

8．(重难点1)某石化公司要修建一个容积为5×104 m3的圆柱形储油库．

(1)写出储油库的底面积S(单位：m2)与其高度h(单位：m)之问的函数关系式．

(2)公司决定把储油库的底面半径修建为25 m，那么储油库将建多高?(π取3．14，精确到0．1 m)

(3)为安全以防雷击，储油库的高度不得超过15 m，那么储油库的底面半径将修建为多长?(精确到0．01 m)

答案：解．(1)h= 5×104

S；

(2)S=252π≈1 962．5。

∴h=5×104

1 962．5

≈25．5(m)|

(3)当h=15时，15= 5×104

S，

∴S≈3 333．3(m2)．-

设底面半径为k，则k2π=3 333．3，

∴k≈32．58(m)．

9．(重难点2)小梅购买了一张36元的电话卡，那么她打电话的通话时间t(分钟)与每分钟通话费x(元)有怎样的函数关系?如果话费0．6元/分，每天通话3分钟，这张电话卡她将用多少天?

答案：t = 36

x，当x=0．6时，t=

36

0．6

=60，60÷3=20(天)．

10．(重难点2)如图17—2—4是一块合金制作的长方体工件，

相邻三条棱AB、AC、AD的长度分别为9 cm、6 cm和3 cm，

若工件的质量为6千克，分别以不同的三个面放置在地面上，

地面所受的压强各是多少? 图17―2―4

答案：解：压力F =9．8×6=58．8(N)．

∴压强p 与受力面积S 成反比例，

∴p = 58．8S

． 当3 cm × 6 cm 的面着地时，

S =

1810 000(m 2)， p = 58．818

× 10 000≈32 667(Pa)． 当6 cm×9 cm 的面着地时，

S =

5410 000 (m 2)， p = 58．854

× 10 000≈10 8(Pa)． 当3 cm×9 cm 的面着地时，

S =

2710 000 (m 2)， p = 58．827

× 10 000≈21 778(Pa)． 11．(重难点2)一种电视机的显像管额定寿命为18 000小时．

(1)我们每天看电视的时间t (小时)与电视的使用寿命S (天)之间成怎样的函数关系?

(2)如果我们每天看电视的平均时间为6小时，电视的寿命是几年?(一年按365天计算)

答案：(1)S = 18000t

(2)当t =6时，

S = 18 0006

=3000(天 ) 3 000÷365≈8(年)．

12．(重难点2)利用我们学习的反比例函数知识，画出一组面积等于2的三角形(要求至少画三个)。 答案：利用反比例函数图象．

设y= k x ，∵S △=12︱xy ︱= 12

︱k ︱． ∴12

︱k ︱=2，∴k =±4 作函数y =4x ，或y = －4x

的图象，如图17—2所 示，在图象上任取A 、A 1、A 2、...，由点A 、A 1、A 2、...分别作x 轴的垂线，垂足分别为B 、B 1、B 2、...，则S △OAB =S △OA 1B 1=S △OA 2B 2= (2)

13．(重难点2)某市上年度电价为0．8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0．55～0．75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0．4)元成反比例．又当x =0．65元时，y =0．8．

(1)求y 与x 的函数关系式；

(2)若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价－成本价)]

∴设y=

k

x－0．4

(k≠0)．

将x=0．65，y=0．8代入上式

0．8=

k

0．65－0．4

得k=0．2，

∴y=

0．2

x－0．4

=

1

5x－2

。

∴y与x的函数解析式为y=

1

5x－2

。

(2)根据题意，得(1+1

5x－2

)·(x－0．3)=1×(0．8－0．3)×(1+20%)，

整理，得x2－1．1x+0．3=0，

解之得x1=0．5，x2=0．6．

经检验知x1=0．5与x2=0．6都是原方程的根．

∴x是在0．55～0．75之间，

∴取x=0．6(x=0．5舍去)．

答：当电价调至0．6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%．