实变函数和泛函分析基础第三版答案

习题解答

1、设为一度量空间，令  ，问的闭包是否等于。

解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而

2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。

证明：（1）显然且有，特别当时有有。

（2）由函数在上单调增加，从而对有

即三角不等式成立。

3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。

证明：设为度量空间中的闭集，作集： ，为开集，从而只要证；

可实上，由于任意正整数，有，故：。

另一方面，对任意的，有， 

令有。所以（因为闭集）。这就是说， 

综上所证有：。

4、设为度量空间上的距离，证明也是上的距离。

证明：首先由为度量空间上的距离且，因此显然有且的充要条件是，而的充要条件是，因此的充要条件是。其次由函数在上单调增加有

即三角不等式成立。所以也是上的距离。

5、证明点列按题2中距离收敛于的充要条件为的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。

证明：由题2距离的定义：则有：

若上述距离收敛于，则。所以对任何非负整数有：。由此对任何非负实数有

。

从而对任何非负整数，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。

反之：若对每个，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数，则对每个有，则有： 

从而对任意的非负实数有：。又由于

从而；，于是有：

。从而取时

于是有。从而点列按题2中距离收敛于。

7、设及是度量空间中两个集，如果，证明必有不相交开集及分别包含及。

证明：记。，以为半径作点的邻域

，令，则是开集且。同理可作开集，使得

。

余证，如若不然即，则存在，由及的作法可知，必有，使得，即，。从而有

另一方面，，从而有

，

由于，故得矛盾。因此。

9、设是可分距离空间，为的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集，使，证明必可从中选出可数个集组成的一个开覆盖。

证明：因是可分距离空间，所以在中存在可数稠密子集。因是的一个开覆盖。因此，存在中的开集，使得且是的内点。存在，使

，因在中稠密，从而可在上取出中的点，再取有理数，使得（此处的有理数与均有关系）于是，由的任意性从而满足该条件的开集的全体覆盖。又由于的和均为可数故这种开集的全体至多可数。

10、设是距离空间，为中的子集，令，证明是上的连续函数。

证明：，则由可得

同理可得： 。因此当即时有。所以在处连续，由在上的任意性得

在上连续。

14、Cauahy点列是有界点列。

证明：设是度量空间中的中的Cauahy点列，则有。特别取，则对任意的有，则，即点列的直径，从而点列是有界集。其次对于，取，则即是中的有界集。又集，所以有界。

设是赋范空间，是中的Cauahy点列点列，则时有，今取，则，使得。，取

，则，有。所以点列有界。

18、设为完备度量空间，是到中的映射，记，若，则映射有唯一不动点。

证明：因，由级数收敛之必要条件有，于是对于，，时有。于是时， 。从而从后，映射是到的压缩映射。又由于是完备的，所以映射有唯一不动点。