基本不等式复习

教师寄语  缺乏意志的人，一切都感到困难；没有头脑的人，一切都感到简单.

试试并非受罪，问问并不吃亏.善于发问的人，知识丰富.

复习目标：

1.了解基本不等式的证明过程；

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

3.通过具体题目进一步掌握分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、换元思想、整体思想等重要的数学思想.

重点难点：

重点：应用基本不等式求函数的最值.

难点：通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设应用基本不等式的情境.

一、基础回顾

如果a,b是正实数，那么，当且仅当 a=b 时取“=”号.

二、公式运用:和定积最大, 积定和最小

利用基本不等式求最大（小）值问题时要抓住“一正、二定、三相等”.“一正”就是要求a,b都为正数；“二定”就是要求和a+b或积ab必须是定值；“三相等”就是看等号能否成立.三个条件缺一不可.

三、例题精讲

例1.已知函数

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，求函数的最大值； 

（3）求函数的值域.

解 （1）时，当且仅当即时“=”成立.

所以当时，函数的最小值为12.

（2）时，

当且仅当即时“=”成立.

所以时，函数的最大值为-12.

（3）由（1）（2）知函数的值域为.

另解: 当且仅当时，“=”成立.

要点归纳：利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

变式练习1.求函数（且）的最值.

解:当时,，当且仅当,即时“=”成立.

当时，，当且仅当,即时“=”成立.

综上可得函数的值域为

另解： .

例2.已知求的最小值以及取得最小值时的值.

解：由于

当且仅当时“=”成立，于是或（舍去）.

所以的最小值为3，取得最小值时的值为2.

要点归纳：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

变式练习2.已知求的最大值.

解：由于 

当且仅当，即时“=”成立.

所以当时，y取得最大值1.

例3.判断下列推理是否正确.

求的最小值.

错解：所以y的最小值为.

正解：，

.

要点归纳：由此看来在应用基本不等式求最值时“=”是否成立很关键！

变式练习3.求函数的最小值.

解： 

易知在上为增函数，即时取得最小值. 

例4.已知，且，求的最小值.

错解：的最小值为12.

解法1（整体代换法）：

当且仅当时“=”成立，又，所以时取得最小值16.

解法2（变量代换函数法）：由，得又

.

当且仅当，即x=4时“=”号成立.

所以的最小值为16.

解法3（三角换元法）：由题意，设（），即，所以

=10+

当且仅当时“=”成立，即，时取得最小值16.

要点归纳：当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能使等号成立，并且要保证取等号的条件的一致性，否则就会出错！

变式练习4.已知且求的最小值.

解：，当且仅当时“=”成立，又，所以当且仅时，t取得最小值

四、课堂练习

1.下列函数中最小值为4的是（ C ） 

2.若，则的最小值是（ B ）

3.函数的最小值是 10 .

4.已知且则的最大值是 18 .

5.已知求的最大值.(提示：由联想)

解  

所以当时，取得最大值

另解:由1得又

6.（探究题）已知且（联想到常见不等式）

（1）求的最大值；

（2）求的最小值.

（1）解法1：

当且仅当即时“=”成立.

解法2：，

当且仅当，即时“=”成立.

（2）错解：原式=（等号不成立）

正解：原式

，

又由，得，从而当时，原式取得最小值为此时

五、课堂小结

(1)公式的条件:正、定、等；

(2)构造“和为定值”或“积为定值”求最值；

(3)通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设应用基本不等式的情境.

六、课后作业

1.已知求的最小值；

2.求函数的最大值.