初中数学几何模型：双角平分线模型

模型讲解

【结论1】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则 ∠BDC=90°+ ∠A.

【证明】设∠ABD=∠DBC= x，∠ACD=∠BCD = y.

由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°.①

由△BDC的内角和为180°，得∠BDC+x+y=180°.②

由②得x+y=180°-∠BDC.③

把③代入①，得∠A+2(180°-∠BDC) =180°,

即2 ∠BDC = 180°+∠A,

即 ∠BDC=90°+ ∠A.

【结论2】如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则 ∠BDC = 90°− ∠A.

【证明】设∠EBD=∠CBD = x，BCD=∠FCD = y.

由△BCD的内角和为180°，得x+y+∠BDC=180°，①

易得2x+2y=180°+∠A.②

由①得x+y=180°-∠BDC.③

把③代入②，得2(180°―∠BDC) =180°+∠A，

即2∠BDC = 180°-∠A，

即 ∠BDC = 90°− ∠A.

【结论3】如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则 ∠D= ∠A.

【证明】设∠ABD=∠DBC = x，∠ACD=∠ECD = y.

由外角定理得2y=∠A+2x，①

y=∠D+x.②

把②代入①，得2(∠D+x)=∠A+2x，

即 ∠D= ∠A.

典型例题

典例1

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若

∠BAC=80°，则∠BOC的度数是(    ).

A.130°        B.120°        C.100°       D.90°

典例2

如图，BA1和CA1，分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，……以此类推，若∠A=α，则A2020 =___________ .

典例3

【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.

若∠A=80°，则∠BEC=________；若∠A=n°，则∠BEC=______.

【探究】

(1)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分

∠ACB，若∠A=n°，则∠BEC=________；

(2)如图3，O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系，并说明理由；

(3)如图4，O是三角形ABC的外角∠DBC与∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系? (只写结论，不需要证明）

初露锋芒

1. 如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，若∠A=60°，则∠BFC等于(    ).

A.121°        B.120°        C.119°        D.118°

2. 如图，五边形ABCDE在∠BCD，∠EDC处的外角分别是∠FCD，∠GDC，CP，DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P.若∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，则∠CPD=_________.

感受中考

1. (2019黑龙江大庆中考真题)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E. 若∠A=60°，则∠BEC的度数为(    ).

A.15°         B.30°         C.45°         D.60°

参

典例1

【答案】A

【解析】∵BO，CO是△ABC的内角平分线，

由“内内90°加一半”得， 

∠BOC=90°+ ∠BAC，

即 ∠BOC=90°+ ×80°=130°.

故选A.

典例2

【答案】 2020·α

【解析】∵BA1为△ABC的内角平分线，CA1为△ABC的外角平分线，

∴由“内外就一半”，得 

∠A1= ∠A= ·α.

同理， 

∠A2= ∠A1=(  )2·α,

∠A3= ∠A2=(  )3·α,

......

∴∠A2020 = (  )2020·α.

典例3

【解析】【问题】130°; 90°+   n°

【探究】

(1)由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- n°.

∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，

∴∠EBC=  ∠ABC,∠ECB =  ∠ACB,

∴∠EBC+∠ECB=  (∠ABC+∠ACB)=  ×(180°- n°)

 =120°−  n°,

∴∠BEC =180°- (∠EBC+∠ECB)=180°- (120°-  n°)

= 60°+  n°.

(2)∠BOC=  ∠A.   理由如下：

由三角形的外角性质，得

∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC.

∵O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点，

∴∠ABC =2∠OBC, ∠ACD =2∠OCD,

∴∠A+∠ABC=2 (∠BOC+∠OBC),

∴∠A=2∠BOC,

∴∠BOC =  ∠A.

(3)∠BOC=90°−  ∠A.

初露锋芒

1.【答案】 B

【解析】∵BE，CD均为△ABC的内角平分线，

∴由“内内90°加一半”，得

∠BFC=90°+   ∠A = 90°+  ×60°=120°.

故选B.

2.【答案】105°

【解析】如图，延长BF，EG交于点H.

在△CDH中，CP，DP分别平分∠HCD和∠HDC，

∴由“内内90°加一半”，得

∠CPD=90°+  ∠H.

又∠A+∠B+∠H+∠E = 360°,

∴∠H = 360°−160°− 80°− 90°= 30°,

∴∠CPD = 90°+  ×30°=105°.

感受中考

1.【答案】B

【解析】∵BE为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，

∴由“内外就一半”，得 

∠BEC=  ∠A=  ×60°=30°.

故选B.