2021-2022学年江西省南昌市南昌县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（　　）

A．    B．    

C．    D．

2．方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根    

C．没有实数根    D．无法确定

3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）

A．y＝（x﹣2）2+1    B．y＝（x+2）2+1    C．y＝（x+2）2﹣1    D．y＝（x﹣2）2﹣1

4．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（　　）

A．abc＞0    B．b2＞4ac    C．4a+2b+c＞0    D．2a+b＝0

6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（　　）

A．（1，2+）    B．（2+，﹣1）    C．（﹣1，﹣2﹣）    D．（﹣2﹣，1）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝　   　．

8．已知点P（a﹣3，7）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是 　   　．

9．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 　   　．

10．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 　   　m．

11．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 　   　．

12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有　   　．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．解方程：

（1）4x2＝12x；

（2）3x2﹣4x﹣2＝0．

14．已知函数y＝（m﹣3）（x+2）m2﹣7+m﹣2是二次函数．

（1）求m的值；

（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．

15．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；

（2）在图2中．

①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；

②请直接写出：点B到AC的距离为 　   　．

16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．

17．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

19．某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？

20．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．

（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；

（2）若抛物线的顶点在x轴正半轴上，求m的值．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　   　个．

22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．

观察：EF，DF，BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？

思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．

①根据上述思路在图中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．

②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？

六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）

23．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．

参

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称的图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误；

C、是中心对称图形但不是轴对称的图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，是轴对称的图形，故本选项错误．

故选：C．

2．方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根    

C．没有实数根    D．无法确定

【分析】要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后判定其正负情况即可作出判断．

解：∵x2+kx﹣1＝0，

∴Δ＝b2﹣4ac＝k2+4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）

A．y＝（x﹣2）2+1    B．y＝（x+2）2+1    C．y＝（x+2）2﹣1    D．y＝（x﹣2）2﹣1

【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．

解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，

再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．

故选：B．

4．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

解：设八年级有x个班，

依题意得：x（x﹣1）＝15，

整理得：x2﹣x﹣30＝0，

解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．

故选：B．

5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（　　）

A．abc＞0    B．b2＞4ac    C．4a+2b+c＞0    D．2a+b＝0

【分析】利用函数图象的开口，与y轴交点坐标，和对称轴，分别判断出a，b，c的正负，可以判断出A选项，由抛物线与x轴交点个数，可以判断Δ＝b2﹣4ac的正负，可以判断出B选项，又当x＝2时，y＝4a+2b+c，根据图象可以判断C选项，由对称轴为x＝1，可以判断D选项．

解：由图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，

由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），

由图象可得，c＜0，

对称轴为x＝，

∴，

∴b＝﹣2a，

∵a＞0，

∴b＜0，

∴abc＞0，

故A选项正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，

∴b2＞4ac，

故B选项正确；

由图象可得，当x＝2时，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

故C选项错误；

∵抛物线的对称轴为x＝1，

∴，

∴2a+b＝0，

故D选项正确，

故选：C．

6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（　　）

A．（1，2+）    B．（2+，﹣1）    C．（﹣1，﹣2﹣）    D．（﹣2﹣，1）

【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，交BC于点F，根据正方形的性质可得AF⊥BC，B（0，2），即可得EF＝2，由等边三角形的性质及勾股定理可求解AF，BF的长，进而可求解A点坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点A的坐标，发现规律，进而求出第2020次旋转结束时，点A的坐标．

解：过点A作AE⊥x轴于点E，交BC于点F，

∵四边形OBCD为正方形D（2，0），

∴EF＝OB＝OD＝BC＝2，BC∥OD，

∴B（0，2），AF⊥BC，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝BC＝2，BF＝1，

∴AF＝，

∴AE＝AF+EF＝2+，

∴A（1，2+），

∵正方形OBCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，

∴发现规律：旋转4次一个循环，

∵2020÷4＝505，

∴第2020次旋转结束时，点A的坐标为（1，2+）．

故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝　﹣3　．

【分析】由x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出x1+x2的值．

解：∵x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，a＝1，b＝3，

∴x1+x2＝﹣＝﹣3．

故答案为：﹣3．

8．已知点P（a﹣3，7）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是 　a＜3　．

【分析】首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（﹣，+），可得到不等式a﹣3＜0，然后解出a的范围即可．

解：∵P（a+1，1）关于原点对称的点在第四象限，

∴P点在第二象限，

∴a﹣3＜0，

解得：a＜3，

故答案为：a＜3．

9．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 　y＝﹣2（x+1）2+3　．

【分析】根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．

解：y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+8﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+3．

故答案是：y＝﹣2（x+1）2+3．

10．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 　3　m．

【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．

解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，

∴当x＝1时，y有最大值为3，

∴喷出水珠的最大高度是3m，

故答案为：3．

11．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 　2﹣　．

【分析】连接AE，根据旋转的性质推出Rt△AB1E≌Rt△ADE，再由含30度角的直角三角形性质得出DE＝，最后由图可以得出S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1），将相关数值代入求解即可．

解：如图，

连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，

在Rt△AB1E和Rt△ADE中，

，

∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），

∵∠B1AE＝∠DAE＝∠B1AD＝30°，

∴＝，解得DE＝，

∴S四边形ADEB1＝2S△ADE＝2××AD×DE＝，

∴S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1）＝2×（1﹣）＝2﹣，

故答案为：2﹣．

12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有　①③④　．

【分析】由抛物线与x轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出a＞0、b＜0、c＜0，进而即可得出abc＞0，即可判断②；由将抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有一个交点，即可判断③；由a＞0、b＝﹣2a，可得出3a+b＝a＞0，即可判断④．

解：∵抛物线与x轴有两个交点，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，①正确；

∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，

∴a＞0，﹣＝1，c＜0，

∴b＝﹣2a＜0，

∴abc＞0，②错误；

∵方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，

∴m＜﹣3，③正确；

∵a＞0，b＝﹣2a，

∴3a+b＝a＞0，④正确．

故答案为：①③④．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．解方程：

（1）4x2＝12x；

（2）3x2﹣4x﹣2＝0．

【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；

（2）找出方程中a，b，c的值，代入求根公式计算即可求出解．

解：（1）方程移项得：4x2﹣12x＝0，

分解因式得：4x（x﹣3）＝0，

可得4x＝0或x﹣3＝0，

解得：x1＝0，x2＝3；

（2）方程3x2﹣4x﹣2＝0，

这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，

∵△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝16+24＝40＞0，

∴x＝＝＝，

解得：x1＝，x2＝．

14．已知函数y＝（m﹣3）（x+2）m2﹣7+m﹣2是二次函数．

（1）求m的值；

（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．

【分析】（1）根据二次函数的定义得到关于m的方程，然后解方程求出m的值；

（2）根据m的值即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．

解：（1）∵函数y＝（m﹣3）（x+2）m2﹣7+m﹣2是二次函数，

∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，

解得m＝﹣3；

（2）∵m＝﹣3，

∴二次函数的解析式为y＝﹣6（x+2）2﹣5，

∴开口方向向下、对称轴是直线x＝﹣2、顶点坐标是（﹣2，﹣5）．

15．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；

（2）在图2中．

①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；

②请直接写出：点B到AC的距离为 　2　．

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．

（2）①利用数形结合的思想解决问题即可．

②利用三角形面积公式求解即可．

解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求．

（2）①如图2中，△AB′C′即为所求．

②设AC边上的高为h，•AC•h＝•2•4，

解得h＝2，

故答案为：2．

16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．

【分析】（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，先代入顶点A的坐标，再把B的坐标代入，即可求出a，即可得出解析式；

（2）把C的坐标分别代入，看看两边是否相等即可．

解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，

∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），

∴y＝a（x﹣1）2﹣4，

∵经过点B（3，0），

∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，

解得：a＝1，

∴y＝（x﹣1）2﹣4，

即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，

理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，

即左边＝右边，

所以点C在该函数的图象上．

17．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），

依题意得：x（x+8）＝65，

整理得：x2+8x﹣65＝0，

解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．

答：这个最小数为5．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，

∴x1＝2，x2＝k+1．

∵方程有一根小于1，

∴k+1＜1，解得：k＜0，

∴k的取值范围为k＜0．

19．某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．

（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．

解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）

∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；

（2）设每个月的销售利润为w，

由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，

∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000，

∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．

20．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．

（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；

（2）若抛物线的顶点在x轴正半轴上，求m的值．

【分析】（1）根据对称轴公式  即可求m的值；

（2）根据顶点坐标公式求解即可．

解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8的对称轴为y轴，

∴﹣＝0，

解得m＝3，

即m的值是3；

（2）∵抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8的顶点在x轴正半轴上，

∴

解得m＝11，

即m的值是11．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　4　个．

【分析】（1）由抛物线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；

（2）由直线AB的解析式求得C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，利用三角形面积公式即可求得；

（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P1AB的面积、△P2AB的面积、△P3AB的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的面积的一半．

解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，

∴A（﹣2，1），B（4，4），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，解得，

∴直线AB的解析式为y＝+2；

（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，

∴C的坐标为（0，2），

∴OC＝2，

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．

（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，

作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，

所以这样的点P共有4个，

故答案为4．

22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．

观察：EF，DF，BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？

思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．

①根据上述思路在图中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．

②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？

【分析】①先由旋转得到∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，然后由正方形的性质得到∠FAG＝∠FAE，再得证△EAF≌△GAF，最后得证结果；

②有①中的结果得到点E在BC中点时CE、BE的长，然后设DF＝x，表示出线段EF、CF的长度，最后结合勾股定理列出方程得到x的大小，即可得到点F在CD边上的位置．

解：①将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG，如图所示，证明如下，

由旋转得，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，

∴∠ADF+∠ADG＝180°，

∴点F、D、G三点共线，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG＝45°，

∴∠FAG＝∠FAE，

∵AF＝AF，AE＝AG，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝FG，

∴EF＝DF+DG，

∴EF＝DF+BE．

②∵正方形ABCD的边长为6，点E在BC边上运动到中点位置，

∴BE＝BC＝3，

由①可知，DG＝BE＝3，

∵正方形ABCD的边长为6，

∴CD＝BC＝AD＝6，

∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，

设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，

在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，

∴32+（6﹣x）2＝（x+3）2，

解得：x＝2，

∴DF＝2，

∴动点F在CD边上距离点D长为2的位置．

六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）

23．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．

【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；

（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可；

（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m各单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围．

解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，

结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），

设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，

将点O （0，0）代入函数表达式，

解得：a＝﹣，

∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4，

即y＝﹣x2+2x （0≤x≤8）；

（2）工人不会碰到头，理由如下：

∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽1.2m，工人直立在打捞船中间，

由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1，

∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x，

解得：y＝＝1.75，

∵1.75m＞1.68m，

∴此时工人不会碰到头；

（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．

如图所示，

新函数图象的对称轴也是直线x＝4，

此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，

将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，

如图所示，

∵平移不改变图形形状和大小，

∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，

∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，

∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，

得m的取值范围是：

①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，

②8+m≤8，得m≤0，

由题意知m＞0，

∴m≤0不符合题意，舍去，

综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．