2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)设是数列,下列命题中不正确的是                                (   )

(A) 若,则 

(B) 若, 则      

(C) 若,则 

(D) 若,则  

 (2) 设函数在内连续,其2阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为 (   )

(A)        (B)        (C)         (D) 

(3) 设,函数在上连续,则                                                  (   )

   (A)            

   (B)          

(C) 

(D) 

(4) 下列级数中发散的是(   )

(A)               (B)           

(C)        (D)  

(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：                                               (   )

(A)          (B)          

(C)          (D) 

 (6) 设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为(   )

(A)             (B)          

(C)            (D) 

(7)  若为任意两个随机事件,则:     (   )                                                                 

(A)                      (B)   

(C)                   (D) 

 (8) 设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则                                                 (   )

(A)            (B)         

(C)         (D) 

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) 

 (10)设函数连续，若则

 (11)若函数由方程确定，则

 (12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则

 (13)设3阶矩阵的特征值为，其中E为3阶单位矩阵，则行列式

 (14)设二维随机变量服从正态分布，则

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10 分)

   设函数.若与在时是等价无穷小，求的值.

(16)(本题满分10 分)

计算二重积分，其中

 (17)(本题满分10分)

   为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.

(I)证明定价模型为；

(II)若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.

(18)(本题满分10 分)

    设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求表达式.

 (19)(本题满分 10分)

（I）设函数可导，利用导数定义证明

（II）设函数可导，，写出的求导公式.

 (20) (本题满分 11分)

   设矩阵，且.

(I)求的值；

(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.

(21) (本题满分11 分)

   设矩阵相似于矩阵.

(I)求的值；

（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.

(22) (本题满分11 分)

   设随机变量的概率密度为

对进行重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数

(I)求的概率分布；

(II)求.        

(23) (本题满分11 分)

  设总体的概率密度为

其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.

(I)求的矩估计量；

(II)求的最大似然估计量.