高中数学试题：三角函数单元复习题(二)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知x∈(－，0)，cosx＝，则tan2x等于                                （    ）

A.                B.－            C.                D.－     

2． cos－sin的值是                                                （    ）

A.0                    B.－              C.                  D.2     

3．已知α，β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，则α＋β的值为              （    ）

A.或              B.            C.                D.2kπ＋(k∈Z)   

4．sin15°cos30°sin75°的值等于                                               （    ）

A.                  B.                C.                    D.    

5．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin)等于                                        （    ）

A.                  B.－              C.－                 D.        

6．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)的值为                           （    ）

A.                  B.                  C.1                       D.0   

7．已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为               （    ）

A.，                                    B.－，

C.－，－                                D.－，±         

8．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状是                            （    ）

A.锐角三角形                                    B.钝角三角形

C.直角三角形                                    D.不能确定              

9．化简的结果为                                （    ）

A.tanα                B.－tanα              C.cotα                  D.－cotα    

10．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为          （    ）

A.－                    B.               C.－1                    D.1      

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．的值等于_____________.        

12．若＝4＋，则cot(＋A)＝_____________.         

13．已知tanx＝(π＜x＜2π)，则cos(2x－)cos(－x)－sin(2x－)sin(－x)＝_____.

14．sin(－3x)cos(－3x)－cos(＋3x)sin(＋3x)＝_____________.  

15．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则sin(α＋)·sin(－α)的值为____________.

16．已知5cos(α－)＋7cos＝0，则tantan＝_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知cos(α－)＝，＜α＜，求cosα.

18．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，

求sinα、tanα.

19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，

求tan＋tan＋tantan的值.

20．（本小题满分15分）已知cosα＝－，cos(α＋β)＝，且α∈(π，π)，α＋β∈(π，2π)，求β.

21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝π，(2)tantanβ＝2－同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.

三角函数单元复习题（二）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D  2．C  3．C  4．B  5．C  6．D  7．C  8．A  9．B  10．A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．2－  12．4＋  13．－  14． 

15．【解析】 ∵tan(α＋)＝tan［(α＋β)－(β－)］＝

∴原式＝sin(α＋)cos(α＋)

＝＝＝.      

16．【解析】 由5cos(α－)＋7cos＝0得：

5cos（＋）＋7 cos（－）＝0

展开得：12coscos＋2sinsin＝0，

两边同除以coscos得tantan＝－6.          

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知cos(α－)＝，＜α＜，求cosα.

【解】 由于0＜α－＜，cos(α－)＝

所以sin(α－)＝＝

所以cosα＝cos［(α－)＋］＝

18．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，

求sinα、tanα.

【解】  ∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1

∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0

即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0

又α∈(0，)，∴cos2α>0，sinα＋1>0.

故sinα＝，α＝，tanα＝.

19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，

求tan＋tan＋tantan的值.

【解】 因为A、B、C成等差数列，A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＋＝

∴tan(＋)＝，由两角和的正切公式，得＝

tan＋tan＝－tantan

tan＋tan＋tantan＝.

20．（本小题满分15分）已知cosα＝－，cos(α＋β)＝，且α∈(π，π)，α＋β∈(π，2π)，求β.

【分析】 要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.

【解】  ∵π＜α＜π，π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.

又∵cosα＝－，cos(α＋β)＝，∴sinα＝－，sin(α＋β)＝－

故cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝×（－）＋（－）（－）＝－.

而0＜β＜π，∴β＝π.

【评注】 本题中若求sinβ，则由sinβ＝及0＜β＜π不能直接推出β＝π，因此本类问题如何选择三角函数值得考虑.

21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝π，(2)tantanβ＝2－同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.

【分析】 这是一道探索性问题的题目，要求根据（1）、（2）联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件（2）涉及到与β的正切，所以需将条件（1）变成＋β＝，然后取正切，再与（2）联立求解.

【解】  由（1）得：＋β＝

∴tan(＋β)＝＝

将（2）代入上式得tan＋tanβ＝3－.

因此，tan与tanβ是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根，解之得x1＝1，x2＝2－.

若tan＝1,由于0＜＜.所以这样的α不存在；

故只能是tan＝2－，tanβ=1.

由于α、β均为锐角，所以α＝，β＝

故存在锐角α＝，β＝使（1）、（2）同时成立.