高一数学函数、函数与方程知识点总结

函数

『例题精讲』

例1. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B

　　    ①若映射f满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f的个数为　　　　　　 。（4）

　　解：　①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c)　∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.

　　      根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:

　例2. (1)已知f(x)=x2+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式;　

(2)已知 ,求f(x＋1)的解析式.

　　  解: (1) ∵f(x)=x2+2x-1 (x>2)　   

∴以2x+1替代上式中的x得                   

f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2)

　　     ∴f(2x+1)=4x2+8x+2 (x>1/2 )

　　   (2)由已知得 　

∴以x替代上式中的 得　f(x)=x2-1 (x≥1)

　　    ∴f(x+1)=(x＋1)2-1 (x+1≥1)　即f(x+1)=x2+2x (x≥0)

　例3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f()=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=________。

(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是?

解: (1)由f()=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数f(-x)=f(x)(xR)，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:　f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1) 　而f(1)=a，f(2)=1，　 ∴a=1

(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x)　 ①　 又这里f(x+T)=f(T-x)　 ②

　为了靠拢①，在②中以(x+T)替代x的位置得 　f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x)　③

　∴由①， ③得f(-x)=f(x)　　 ∴f(x)为偶函数.

『易错题』

例4. 已知函数f(x)=，y=g(x)的图象与y= 的图象关于直线y=x对称，求g的值.

　　典型错解:　 由题设知g(x)与 互为反函数　 ①　　∴ = 　 ②

　　∴g(x)=f(x+1)　 ③　　由此得g()=f()=- 

　　错因分析:　上面①②正确，由②导出③出现错误.在这里的反函数是g(x)，但的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是y= ，而是y= -1；y= 的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.

　　正确解法: 　(着力于寻求 的解析式):由已知得 = (x≠-2)∴ =- (x≠-3)

　　又由题设知g(x)的反函数为 ，　∴ = 　∴ =- 　 ①

　　令g()=b，则 = 　 ②　　∴由①②得- = ，解得b=-1，　　∴g()=-1.

『当堂检测』

1.设函数，则＝               ．

2.已知的定义域为［－2，2］，求的定义域______________

3. 已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式____________________.

4. 设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，

f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式___________________________.

5. 已知函数

（1）若是增函数，求a的取值范围;

（2）求上的最大值.

『直击高考』

1.函数y= ( x≤0)的反函数是(B )   

A. y= (x≥-1)　　　B. y=－ (x≥-1)　　

C. y= (x≥0)　　   D. y=－ (x≥0)

2.(2004北京卷)函数f(x)= -2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是(D )

A. a∈(-∞，1]　　　B. a∈[2，+∞)　　C. a∈[1，2]　　D. a∈(-∞，1]∪[2，+∞]

3. 设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f，f(4)=0，则f=_-2__

5. 已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)= -1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=__-2______

6. 若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px－)( x∈R)，则f(x)的一个正周期为___p/2_

函数与方程

零点：对于函数y=f，我们把使f=0的实数x叫做函数y=f的零点

定理： 如果函数y=f在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f·f ﹤0，那么，函数y=f在区间[a，b]内有零点。即存在c（a，b），使得f=0.这个c也是方程f=0的根。

关系：方程f=0有实数根函数y=f有零点函数y=f的图像与x轴有交点

『知识梳理』

『例题精讲』

1. 已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。

解：设方程的两根分别为，

则，所以

由韦达定理得，

即，所以

2.判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。

解：因为，

所以在区间上有零点

又

当时，

所以在上单调递增函数，所以在上有且只有一个零点。

『易错题』

3.设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ B   ）

A．     B．   C．       D．不能确定

『当堂检测』

1.如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

2.已知函数，则函数的零点是__________

3.若方程有两个实数解，则的取值范围是（     ）

A． ． ． ．

4.函数的实数解落在的区间是(     )

A． ． ． ．

5.求函数零点的个数为 （ ）

A． ． ． ．

『直击高考』

1.设二次函数，方程的两根和满足；

（1）求实数的取值范围；

（2）试比较与的大小，并说明理由。

解：令

则由题意可得：

故所求实数的取值范围是。

2.函数f=2+3x的零点所在的一个区间是（B）

A．（-2,-1）   B（-1，0）  C（0，1）   D（1，2）

3.设函数f=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f不存在零点的是（A）

   A．[-4,-2]     B.[-2,0]     C.[0,2]     D.[2,4]

4.函数f=-COSx在[0，﹚内（B）

   A没有零点   B有且仅有一个零点  C有且仅有两个零点   D有无穷多个零点