北师大版高中数学必修一综合测试题(一).docx

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．

满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2011·新课标文)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)

A．2个　　　　　　　　    B．4个

C．6个      D．8个

2．(2012·银川高一检测)设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)

A．f(a＋1)＝f(2)      B．f(a＋1)>f(2)

C．f(a＋1)3．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是(　　)

A．f(x)＝lnx      B．f(x)＝

C．f(x)＝|x|      D．f(x)＝ex

4．(2011·北京文)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP＝(　　)

A．(－∞，－1)      B．(1，＋∞)

C．(－1,1)      D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5．函数y＝lnx＋2x－6的零点，必定位于如下哪一个区间(　　)

A．(1,2)      B．(2,3)

C．(3,4)      D．(4,5)

6．已知f(x)是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是(　　)

A．x>1     B．x<1

C．07．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则(　　)

A．y3>y1>y2      B．y2>y1>y3

C．y1>y2>y3      D．y1>y3>y2

8．(2012·德阳高一检测)已知log32＝a,3b＝5，则log3由a，b表示为(　　)

A.(a＋b＋1)      B.(a＋b)＋1

C.(a＋b＋1)      D.a＋b＋1

9．若a>0且a≠1，f(x)是偶函数，则g(x)＝f(x)·loga(x＋)是(　　)

A．奇函数      B．偶函数

C．非奇非偶函数      D．奇偶性与a的具体值有关

10．定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝的解析式为(　　)

A．f(x)＝，x∈[－2,0)∪(0,2)

B．f(x)＝，x∈(－∞，2]∪[2，＋∞)

C．f(x)＝－，x∈(－∞，2]∪[2，＋∞)

D．f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]

第Ⅱ

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

11．幂函数f(x)的图像过点(3，)．则f(x)的解析式是________．

12．(2011·安徽文)函数y＝的定义域是________．

13．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

14．已知f(x6)＝log2x，则f(8)＝________.

15．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围为________．

三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)设全集U为R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，求A∪B.

17．(本小题满分12分)(2012·广州高一检测)(1)不用计算器计算：log3＋lg25＋lg4＋7log72＋(－9.8)0

(2)如果f(x－)＝(x＋)2，求f(x＋1)．

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性；

(3)求证：f(x)>0.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x.

(1)求f(log2)的值；

(2)求f(x)的解析式．

20．(本小题满分13分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数g(x)＝－bx(b≠0)，其中a，b，c满足a>b>c，a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)．

(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；

(2)求证：方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2.

21．(本小题满分14分)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)至今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多还能砍伐多少年？

1[答案]　B

[解析]　本题考查了集合运算、子集等，含有n个元素的集合的所有子集个数是2n.

∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}，

所以P的子集个数为22＝4个．

2[答案]　B

[解析]　∵f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，

∴a>1，∴a＋1>2，

∴f(a＋1)>f(2)，故选B.

3[答案]　A

[解析]　函数y＝的定义域为(0，＋∞)，故选A.

4[答案]　D

[解析]　本题考主要考查集合的运算与解不等式问题．

P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，

所以∁UP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

5[答案]　B

[解析]　令f(x)＝lnx＋2x－6，设f(x0)＝0，

∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，

又f(2)＝ln2－2<0，f(2)·f(3)<0，

∴x0∈(2,3)．

6[答案]　D

[解析]　由已知得⇒，

∴x∈(1,2)，故选D.

7[答案]　D

[解析]　∵y1＝40.9＝21.8，

y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝21.5，

又∵函数y＝2x是增函数，且1.8>1.5>1.44.

∴y1>y3>y2.

8[答案]　A

[解析]　3b＝5，b＝log35，

log3＝log330＝log3(3×10)

＝(1＋log310)

＝(1＋log32＋log35)＝(a＋b＋1)．

9[答案]　A

[解析]　g(－x)＝f(－x)·loga(－x＋)＝f(x)·loga

＝－f(x)·loga(x＋)＝－g(x)．

则g(x)是奇函数．

10[答案]　D

 [解析]　∵a⊕b＝，a⊗b＝，

∴f(x)＝＝＝.

∵－2≤x≤2且|x－2|－2≠0，即x≠0，

∴f(x)＝＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]．

11[答案]　f(x)＝x

[解析]　设f(x)＝xα，将(3，)代入，

得3α＝＝3，则α＝.∴f(x)＝x.

12[答案]　{x|－3[解析]　该题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法，注意填定义域(集合)．

由6－x－x2>0，

得x2＋x－6<0，

即{x|－313[答案]　－1

[解析]　∵f(－x)＝f(x)对任意x均成立，∴(－x)·(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)对任意x恒成立，

∴x(－aex－e－x)＝x(ex＋ae－x)，∴a＝－1.

14[答案]　

[解析]　∵f(x6)＝log2x＝log2x6，

∴f(x)＝log2x，

∴f(8)＝log28＝log223＝.

15[答案]　(－∞，16]

[解析]　任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－

＝[x1x2(x1＋x2)－a]，

要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，需使f(x1)－f(x2)<0恒成立．

∵x1－x2<0，x1x2>4>0，∴a又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a≤16，

即a的取值范围是(－∞，16]．

16[解析]　∵(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，

∴2∈B,2∉A,4∈A,4∉B，根据元素与集合的关系，

可得，解得

∴A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．

∴A∪B＝{2,3,4}．

17[解析]　(1)原式＝log33＋lg(25×4)＋2＋1

＝＋2＋3＝.

(2)∵f(x－)＝(x＋)2

＝x2＋＋2＝(x2＋－2)＋4

＝(x－)2＋4

∴f(x)＝x2＋4

∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋4

＝x2＋2x＋5.

18[解析]　(1)由2x－1≠0，即2x≠1，得x≠0，

所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)因为f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(3)由于函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

因为当x>0时，2x>1,2x－1>0，x3>0，所以f(x)>0；

当x<0时，0<2x<1,2x－1<0，x3<0，所以f(x)>0.

综上知f(x)>0.本题得证．

19[解析]　(1)因为f(x)为奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，

所以f(log2)＝f(－log23)＝－f(log23)

＝－2log23＝－3.

(2)设任意的x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，

因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，所以f(－x)＝2－x，

又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x，即当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－2－x；

又因为f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，

综上可知，f(x)＝.

20[解析]　(1)若f(x)－g(x)＝0，则ax2＋2bx＋c＝0，

∵Δ＝4b2－4ac＝4(－a－c)2－4ac

＝4[(a－)2＋c2]>0，

故两函数的图像交于不同的两点．

(2)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋2bx＋c，令h(x)＝0可得ax2＋2bx＋c＝0.由(1)可知，Δ>0.

∵a>b>c，a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)，∴a>0，c<0，

∴h(2)＝4a＋4b＋c＝4(－b－c)＋4b＋c＝－3c>0，

－＝＝＝1＋<2，

即有，结合二次函数的图像可知，

方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2.

21[解析]　(1)设每年砍伐的百分比为x(0则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，

解得x＝1－().

(2)设经过m年剩余面积为原来的，

则a(1－x)m＝a，

即()＝()，＝，

解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．

(3)设从今年开始，以后砍了n年，

则n年后剩余面积为a(1－x)n，

令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，

()≥()，≤，解得n≤15.

故今后最多还能砍伐15年．