正交矩阵与正交变换的性质及应用

 程祥 

 河南大学数学与信息科学学院 开封 475004

摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广.

关键词:正交矩阵;正交变换;性质  

1.1 正交矩阵的的定义及其判定

定义1 阶实矩阵, 若满足, 则称为正交矩阵.

性质1 为正交矩阵.

性质2 为正交矩阵..

     性质3 为正交矩阵..

1.2 正交矩阵的性质

 性质1 若为正交矩阵则均为正交矩阵.

 证明 有,

,

      可得

均为正交矩阵.

 性质2 若为正交矩阵则

 证明 对两边同取行列式,

可得

,

      故

.

 性质3 若为正交矩阵，则也为正交矩阵.

 证明 有,

      可得 

为正交矩阵.

 性质4 正交矩阵的特征值的模为1.

 证明  设为正交矩阵，复数为其任一特征值为其对应的特                                      

         征向量，即，

两边取转置

，

由此得

,

           有可得

,

           从而.

   性质5 正交矩阵的实特征值为.

   性质6 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1.

   证明 设为n阶正交矩阵且，n为奇数

        则

                    ,

        故

,

        即有特征值1.

 性质7 行列式为1的正交矩阵必有特征值1.

  证明 设为正交矩阵且

       则

                       ,

       故

,

       即

有特征值1.

性质8 设为正交矩阵的特征值，则也为的特征值.

证明 因为的特征值 

     故存在特征向量    

     从而

,

     得

,

     即为的特征值,

     从而

也为的特征值.

性质9 设为一n阶正交矩阵，有一特征值为，相应的特征向量为，则

证明 有, 

     得

,

    两边转置得

   ,

令

,

故

,

计算可得

,

比较第一行元素可知

,

,

又为正交矩阵，有性质4知

,

代入并注意到有

,

,

可得

即,

易得

,

从而

.

下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用.

例1 证明：不存在正交矩阵.

       证明 设有正交矩阵,

       则都是正交矩阵,

且

,

       故

为正交矩阵,

       从而

,

,

       两式相加，得

,

       矛盾 故得证.

例2 设

  证明 因为正交方阵，故

,

       又

,

       从而

,

       得

有特征值-1,

       故

,

       即

,

       因此

.

例3 设证明：存在一实数

     使得.

 证明 设则

      ,

       因为为奇数阶正交矩阵且,

       故

有特征值1，不妨设则,

       于是

,

       从而

,

       其中,

       有因正交矩阵的特征值的模为1,

       故

,

       得

,

       于是

,

       从而

,.

例4有椭球面的中心，引三条两两垂直的射线，分                     交曲面于点 ，设.证明：

     .

证明  设， 

则

      ，且,

代入曲面方程可得

,

      故

,

      有两两垂直可得为正交矩阵,

      故

,

      从而有

.

2.1正交变换的定义及等价条件

 定义2：欧氏空间的线性变换称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有.

正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画.

定理 设是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面的四个命题是相互等价的：

     (1) 是正交变换；

    （2）保持向量的长度不变，即对于；

    （3）如果是标准正交基，那么也是标准正交基；

    （4）在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.

    2.2正交变换的性质和应用

      由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此正交矩阵性质可以平

 移到正交变换上来.下面通过具体例子说明其应用.

例5 设是欧氏空间的一个变换，证明：如果是保持内积不变.即对于，那么它一定是线性的，因而它是正交变换.

证：先证：由条件得

从而

再证：同理，由于

例6 设与是维欧氏空间的两组向量，证明：存在正交变换使的充要条件是

证明 设有正交变换，则

证 设成立.令 

则

但易知

是到的同构映射.于是=.从而得，

,

令为到得一个同构映射，则对令

,

易知是的正交变换且由得

例7设是维欧氏空间的两个线性变换，，证明：存在.

证明 令则易知

,

       是，因此有

,

       令

,

       是的正交变换，且对任意有

       故

,

       因此

.

参考文献

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