2021-2022学年四川省眉山市仁寿县初三数学第一学期期末试卷及解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．

1．（4分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥1    B．x≤1    C．x＞1    D．x＜1

2．（4分）下列计算中，正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜1    B．k≤1    C．k＞﹣1    D．k≤﹣1

4．（4分）点D、E、F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法中错误的是（　　）

A．EF＝BC    B．EF与AD互相平分    

C．△AFE是△ABC的位似图形    D．

5．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝3，则sinA的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

6．（4分）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　）

A．确定事件    B．不确定事件    C．不可能事件    D．必然事件

7．（4分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为（　　）

A．1    B．﹣1    C．3    D．﹣3

8．（4分）把抛物线y＝x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）

A．y＝（x﹣3）2﹣2    B．y＝（x﹣3）2+2    C．y＝（x+3）2+2    D．y＝（x+3）2﹣2

9．（4分）某口罩厂十月份的口罩产量为100万只，由于疫情得到控制，市场需求量减少，设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为（　　）

A．100（1﹣x）2＝81    

B．81（1﹣x）2＝100    

C．100（1+x）2＝81    

D．100+100（1﹣x）+100（1﹣x）2＝81

10．（4分）如图，山顶有一座电视塔BC，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角α＝60°，已知塔高BC为60m，则山高CD等于（　　）

A．m    B．m    C．30m    D．m

11．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时（　　）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

12．（4分）如图▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE平分∠DCB，交AB于点E，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，下列结论：①OE⊥AC；②S▱ABCD＝AC•BC；③OE：AC＝：6△AOE＝3S△OEF．其中结论正确的个数共有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．

13．（4分）已知：，则＝　   　．

14．（4分）抛一枚质地均匀的硬币，前2次都是反面朝上，则抛第3次时反面朝上的概率是　   　．

15．（4分）如图是边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连结AE，则CF＝　   　．

16．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则＝　   　．

17．（4分）在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O　   　．

18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC于点F　   　．

三、解答题：本大题共8个小题，共78分．

19．（8分）计算：﹣2sin60°++（tan30°）﹣1．

20．（8分）已知关于x的方程2x2﹣kx+1＝0的一个解与方程的解相同．

求：①k的值；

②方程2x2﹣kx+1＝0的另一个解．

21．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AD＝2DE．

①求证：∠B＝∠AED；

②若CD＝，求CE的值．

22．（10分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查

①这次被调查的学生共有多少名？

②请将条形统计图补充完整并求出扇形统计图中体育扇形的圆心角的度数．

③若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的有多少名？

④该校团委决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名参加比赛，请用树状图或列表法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率．

23．（10分）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上海里，一艘摩托艇从A出发，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向

24．（10分）某商店以每台30元的价格购进一批小家电，如果以每台40元出售，那么一个月内能售出300台，销售单价每提高1元，销售量就会减少10台

①商店希望一个月内销售该种小家电能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问：小家电的销售单价应提高多少元？

②当销售单价定价多少元时，该商店一个月内销售这种小家电获得的利润最大？最大利润W是多少元？

25．（10分）如图，在△ABC中，AG⊥BC，点E为边AC上一点，连结BE交AG于M，D为边BC上一点，GD＝GB

（1）求证：∠ABE＝∠EAF．

（2）求证：AE2＝EF•EC．

（3）若F为AD的中点，，BC＝10，求AE的长．

26．（12分）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；

（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N（2）的条件下，是否存在点M，请求出点M的坐标；若不存在

参与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．

1．【解答】解：由题意得：1﹣x≥0，

解得：x≤4，

故选：B．

2．【解答】解：＝8﹣＝，不符合题意；

2与不是同类二次根式，故选项B错误；

（8+）2＝6+2+4＝3+2，不符合题意；

÷＝＝3，符合题意；

故选：D．

3．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣3k≥0，

解得k≤1．

故选：B．

4．【解答】解：A、∵E、AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF＝BC，不符合题意；

B、∵点D、E，

∴EF∥BC，ED∥AC，

∴四边形AEDF为平行四边形，

∴EF与AD互相平分，本选项说法正确；

C、∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∵△AFE和△ABC对应点的连线都经过同一点、对应边平行，

∴△AFE是△ABC的位似图形，本选项说法正确；

D、∵ED∥AC，

∴△BDE∽△BCA，

∴＝，故本选项说法错误；

故选：D．

5．【解答】解：在Rt△ABC中，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴AB＝2CD＝5．

∴BC＝

＝

＝6．

∴sinA＝

＝．

故选：A．

6．【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，

故选：B．

7．【解答】解：去分母，得：a+1＝2（x﹣8），

由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，

把x＝8代入整式方程，可得：a＝﹣1．

故选：B．

8．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，2），0）向右平移3个单位，﹣7）2﹣2．

故选：A．

9．【解答】解：依题意得：100（1﹣x）2＝81．

故选：A．

10．【解答】解：设CD＝xm，

在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴AD＝CD＝xm，

在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，

∴BD＝AD＝，

∵BD﹣CD＝BC，

∴x﹣x＝60，

解得：x＝30（1+），

即山高CD等于30（1+）m，

故选：A．

11．【解答】解：①由x＝2时，y＝4a+4b+c，故错误；

②抛物线过点（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝6，

∵﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∴a+c＝b＞0，故正确；

③∵抛物线交y轴的正半轴，

∴c＞5，

∵b＝﹣2a，

∴2a+b+c＝c＞5，故正确；

④抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，

∴当x＜1时，y随x的增大而增大；

故正确的共有3个，

故选：C．

12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，

∵CE平分∠BCD交AB于点E，

∴∠DCE＝∠BCE＝60°

∴△CBE是等边三角形，

∴BE＝BC＝CE，

∵AB＝2BC，

∴AE＝BC＝CE，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠CAB＝∠ECA＝30°，

∴AE＝EC，

∵O是▱ABCD的对角线AC、BD的交点，

∴AO＝CO，

∴OE⊥AC，

故①正确；

∵AC⊥BC，

∴S▱ABCD＝AC•BC，

故②正确，

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，

∴AC＝，

∵AO＝OC，AE＝BE，

∴OE＝BC，

∴OE：AC＝，

∴OE：AC＝：6，

故③正确；

∵AO＝OC，AE＝BE，

∴OE∥BC，

∴△OEF∽△BCF，

∴＝2：1，

∴S△OCF：S△OEF＝＝5，

∴S△OCF＝2S△OEF，

∵S△OCF＝S△AOE，

∴S△AOE＝2S△OEF．

故④错误．

故选：C．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．

13．【解答】解：∵，

∴设a＝6k，b＝5k，

∴＝

＝

＝，

故答案为：．

14．【解答】解：第3次掷硬币，出现反面朝上的机会和朝下的机会相同；

故答案为：．

15．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，

∴△ABE∽△ECF，

∴＝，

∵AB＝2BE＝5EC＝4，

∴BE＝EC＝2，

∴CF＝6，

故答案为：1．

16．【解答】解：原式＝＝，

∵x1，x5是方程x2﹣4x+2＝0的两根，

∴x1+x6＝4，x1x2＝2，

∴原式＝＝2，

故答案为：2．

17．【解答】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，AE．

∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，

∴BE∥CD，

∴∠AOD＝∠ABE．

在△ABE中，AB＝，BE＝，

∵AB2＝AE2+BE2，

∴∠AEB＝90°，

∴cos∠ABE＝＝＝，

∴cos∠AOD＝．

故答案为：．

18．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝6，

∴CD＝6cm，

Rt△BCD中，BD＝＝，

∵EF⊥BD，∠C＝90°，

∴∠EFB+∠CBD＝90°＝∠BDC+∠CBD，

∴∠EFB＝∠BDC，

∴sin∠EFB＝sin∠BDC＝＝＝，

故答案为：．

三、解答题：本大题共8个小题，共78分．

19．【解答】解：原式＝2﹣5×﹣2|+（）﹣1

＝2﹣+2﹣+

＝2+．

20．【解答】解：①去分母得2x+1＝7（1﹣x），

解得x＝，

经检验x＝为原方程的解，

把x＝代入方程2x7﹣kx+1＝0得2×﹣k+1＝4，

解得k＝3，

即k的值为3；

②原方程变形为7x2﹣3x+7＝0，

设方程的另一个根为t，

根据根与系数的关系得×t＝，

解得t＝6，

即方程2x2﹣kx+6＝0的另一个解为x＝1．

21．【解答】①证明：∵DE⊥AB，

∴∠ACB＝∠ADE＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AED，

∴∠B＝∠AED；

②解：∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点，

∴AD＝BD＝CD＝，即AB＝2，

设DE＝x，则AD＝2DE＝2x，

∴AE＝，

则sinB＝sin∠AED＝；

则AC＝ABsinB＝＝4，

∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．

22．【解答】解：①这次被调查的学生人数为：15÷30%＝50（名）；

②喜爱“体育”的人数为：50﹣（4+15+18+3）＝10（名），

则扇形统计图中体育扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°．

补全图形如下：

③估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000×＝600（名）；

④列表如下：

∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为＝．

23．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，

由题意得：∠MAB＝∠NBA＝90°，∠MAC＝60°，∠NBC＝45°海里，

∴∠CDA＝∠CDB＝90°，

∵在Rt△ACD中，∠CAD＝∠MAB﹣∠MAC＝90°﹣60°＝30°，

∴CD＝AC＝30，

在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，

∴BC＝CD＝60（海里），

∴60÷50＝3.2（小时），

∴从B处到达C岛处需要1.2小时．

24．【解答】解：①根据题意得：（40+x﹣30）•（300﹣10x）＝3360，

解得x＝18或x＝2，

∵尽可能减少库存，

∴销售量尽可能大，x＝18舍去，

∴x＝2，

答：小家电的销售单价应提高2元；

②设该商店一个月内销售这种小家电获得的利润为W元，

根据题意得：W＝（40+x﹣30）•（300﹣10x）＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000，

∵﹣10＜5，

∴x＝10时，W最大为4000元，

此时40+x＝50（元），

答：当销售单价定价50元时，该商店一个月内销售这种小家电获得的利润最大．

25．【解答】（1）证明：∵EB＝EC，

∴∠EBC＝∠C，

∵AG⊥BD，BG＝GD，

∴AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，

∴∠ABE＝∠DAC，

即∠ABE＝∠EAF．

（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，

∴△AEF∽△BEA，

∴，

∴AE2＝EF•EB，

∵EB＝EC，

∴AE2＝EF•EC．

（3）解：设BE交AG于J，连接DJ．

∵AG垂直平分线段BD，

∴JB＝JD，

∴∠JBD＝∠JDG，

∵∠JBD＝∠C，

∴∠JDB＝∠C，

∴DJ∥AC，

∴∠AEF＝∠DJF，

∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，

∴△AFE≌△DFJ（AAS），

∴EF＝FJ，AE＝DJ，

∵AF＝DF，

∴四边形AJDE是平行四边形，

∴DE∥AG，

∵AG⊥BC，

∴ED⊥BC，

∵EB＝EC，

∴BD＝DC＝5，

∴BG＝DG＝，

∵tan∠JDG＝tan∠C＝，

∴JG＝，

∵∠JGD＝90°，

∴DJ＝＝＝，

∴AE＝DJ＝．

26．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），﹣3）代入y＝x2+bx+c，

得到方程组：，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x6﹣2x﹣3；

（2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（4，连接AC'并延长与抛物线交于点P，

设直线AC'的解析式为y＝mx+n，

由题意得：，

解得：，

∴直线AC'的解析式为y＝x+5，

将直线和抛物线的解析式联立得：

，

解得（舍去）或，

∴P（4，5）；

（3）存在点M，

过点P作x轴的垂线，由勾股定理得AP＝，

同理可求得AC＝，PC＝，

∴AP3+AC2＝PC2，∠PAC＝90°，

∴tan∠APC＝，

∵∠MBN＝∠APC，

∴tan∠MBN＝tan∠APC，

∴，

设点M（m，m2﹣2m﹣5），则（m≠3），

解得m＝或m＝﹣，

当m＝时，m2﹣3m﹣3＝，

∴M（﹣，），

当m＝，m2﹣2m﹣8＝，

∴M（，），

∴存在符合条件的点M，M的坐标为（，），（，）．