初二数学专题训练：手拉手模型及其综合应用A班

（时间：60分钟 满分：100分）

姓名： 得分：

1、手拉手模型的特点：两个等腰三角形顶点顶角公共，且顶角相等，得到一对能够旋转重合的全等三角形.

2、手拉手模型的基本构图：等腰ABC ∆和ADE ∆，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠.

3、手拉手模型的性质：

（1）三角形全等；（ABD ACE ∆≅∆）

（2）第三边或所在直线的夹角与等腰三角形的顶角相等或互补；（BPC BAC ∠=∠或

180BPC BAC ∠+∠=︒）

（3）第三边或所在直线的交点与顶点的连线平分第三边的夹角或其邻补角；（AP 平分BPE ∠或BPE ∠的邻角）

∆的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD 相交于点O，连接OA．

（1）求证：BE DC

=；

（2）求BOD

∠的度数；

（3）求证：OA平分DOE

∠．

（4）猜想线段OA、OB、OD的数量关系，并证明．

2、（20分）（1）如图1，已知以ABC ∆的边AB 、AC 分别向外作等腰直角ABD ∆与等腰直角ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒，连接BE 和CD 相交于点O ，AB 交CD 于点F ，AC 交BE 于点G ，求证：BE DC =，且BE DC ⊥．

（2）探究：若以ABC ∆的边AB 、AC 分别向外作等边ABD ∆与等边ACE ∆，连接BE 和CD 相交于点O ，AB 交CD 于点F ，AC 交BE 于G ，如图2，则BE 与DC 还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理

由；并请求出BOD ∠的度数？

3、（20分）（1）如图1，已知ABC ∆，以AB ，AC 为边向ABC ∆外做等边ABD ∆和等边ACE ∆，连接BE ，CD ，求证：BE CD =；

（2）如图2，已知ABC ∆，以AB ，AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE ，CD ，BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由；

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得45ABC ∠=︒，

90CAE ∠=︒，60AB BC ==米，AC AE =，求BE 的长．

4、（20分）如图AOB ∆和ACD ∆是等边三角形，其中AB x ⊥轴于E 点．

（1）如图，若5OC =，求BD 的长度；

（2）设BD 交x 轴于点F ，求证：OFA DFA ∠=∠；

（3）如图，若正AOB ∆的边长为4，点C 为x 轴上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作正ACD ∆，连

接ED ，求ED 的最小值.

5、（20分）如图，分别以ABC ∆的边AB 、AC 为一边，向外作正方形ABEF 和正方形AGHC 像这样的两个正方形称为ABC ∆的“依伴正方形”.

（1）如图1，连接BG ，CF 相较于点P ，求证：BG CF =且BG CF ⊥；

（2）如图2，点D 是BC 的中点，两个依伴正方形的中心分别为1O ，2O 连结1O D ，2O D ，12O O ：，判断12DO O ∆的形状并说明由；

（3）如图2，若6AB =，60AC BAC ==︒，求12O O 的长．

手拉手模型及其应用A班答题卡

姓名：得分：