2012年高考重庆文科数学试题

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）命题“若p则q”的逆命题是

（A）若q则p             （B）若p则 q

（C）若则           （D）若p则

（2）不等式 的解集是为

（A）    （B）     （C）（-2，1）（D）∪

【答案】：C

【解析】：

【考点定位】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解．

（3）设A，B为直线与圆 的两个交点，则

（A）1   （B）  （C）  （D）2

【答案】：D

【解析】：直线过圆的圆心 则2

【考点定位】本题考查圆的性质，属于基础题．

（4） 的展开式中的系数为

（A）-270   （B）-90  （C）90  （D）270

（5）

（A）（B）（C） （D）

【答案】：C

【解析】：

【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用

（6）设 ，向量且 ，则

（A）  （B）  （C）  （D）

【答案】：

（7）已知，，则a,b,c的大小关系是

（A）   （B） （C）  （D）

【答案】：

【解析】：，

，则

【考点定位】本题考查对数函数运算．

（8）设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是

【答案】：C

【解析】：由函数在处取得极小值可知，，则；，则时，时

【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．

（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是

（A）     （B） （C）（D）

【答案】：A 

【解析】：，，，

【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．．

（10）设函数集合 

则为

（A）  （B）（0，1）  （C）（-1，1）  （D）

【答案】：D

【解析】：由得则或即或

所以或；由得即所以故

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

（11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和      

【答案】：15

【解析】：

【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式

（12）函数 为偶函数，则实数        

（13）设△的内角 的对边分别为，且，则    

【答案】：

（14）设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率   

（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为        （用数字作答）。

【答案】：

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。

【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】：：（Ⅰ）设数列 的公差为d,由题意知  解得

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得  因 成等比数列，所以  从而  ，即  

解得 或（舍去），因此 。

17．（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为

（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值． 

【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】：：（Ⅰ）因 故  由于 在点 处取得极值

故有即 ，化简得解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知  ，

令 ，得当时，故在上为增函数；

当 时， 故在 上为减函数

当 时 ，故在 上为增函数。

由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知 得此时，因此 上的最小值为

【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数进行求导，根据=0，，求出a，b的值．（1）根据函数=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。

【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）

事件同时发生的概率计算公式知

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数（其中 ）在处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为（I）求的解析式； （II）求函数的值域。

【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）

因，且  

故 的值域为

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线和的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】：（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故  ，所以异面直线 和AB的距离为

（Ⅱ）：由故 面  ，从而  ，故 为所求的二面角的平面角。

因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以≌，因此得

从而

所以在中，由余弦定理得

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知椭圆的中心为原点，长轴在 轴上，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ，线段  的中点分别为 ，且△是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过 作直线交椭圆于，，求△的面积

【答案】：（Ⅰ）+=1（Ⅱ）

，  

（*）

设  则 是上面方程的两根，因此

 又，所以

由  ，知 ，即  ，解得

当 时，方程（*）化为：

故 ，

的面积  当  时，同理可得（或由对称性可得） 的面积 综上所述， 的面积为 。