数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

一．求数列通项公式

1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。）

例．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式．

答案：

2．公式法：已知（即）求，用作差法：

例．设正整数数列前n项和为，满足，求

答案：

3．作商法：已知求，用作商法：。

如数列中，对所有的都有，则               ；

答案：

4．累加法：若求：。

例．已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an．

答案：

5．累乘法：已知求，用累乘法：

例．已知数列满足，，求。

答案：

6．已知递推关系求，用构造法（构造等差．等比数列）。

（1）形如只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式

为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）。

解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例． 已知数列中，，，求．

答案：

为一次多项式，即递推公式为

例．设数列：，求．

答案：

为的二次式，则可设；

（2）递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或，其中p，q， r均为常数）

解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：再应用类型（1）的方法解决。

例．已知数列中，，，求。

答案：

（3）递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型（2）的方法求解。

例． 已知数列中，，，，求。

答案：

7． 形如或的递推数列都可以用倒数法求通项。

例．

答案：

8.利用平方法、开平方法构造等差数列

例1．数列的各项均为正数，且满足，，求。

答案：

例2．已知，求：

（1）；（2）设，求。

答案：（1）（2）

9．型

该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。

两边取对数得

设∴原等式变为即变为基本型。

例．已知，求其通项公式。

答案：

练习：

1.已知且，求

答案：

2.已知且，求

答案：

3.已知数列中，，前项和与的关系是  ，试求通项公式。

解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；

当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0； 

当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；

综上可知a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：

化简得：

上式可化为：

故数列{}是以为首项, 公比为2的等比数列.

故    ∴

数列{}的通项公式为：.

4.设数列满足，．求数列的通项；

解：由得则

所以数列的通项公式为

5. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．求数列的通项公式；

解：因为①

所以②

所以②式－①式得

则

则

所以

③

由，取n=2得，则，又知，则，代入③得

6. 已知数列满足，，求数列的通项公式。

已知，求通项an．

答案：

7. 已知数列满足，求数列的通项公式。

答案：

8.已知且，求

答案：

9.已知数列满足，求数列的通项公式。

答案：

10.已知数列满足，，求数列的通项公式。

答案：

11.已知数列{an}的首项a1=，an+1=，n=1，2，…，求{an}的通项公式；

答案：

12.设数列满足且，求

答案：

13.已知等比数列，，等差数列（）中，为中连续的三项，求

答案： 

14.已知各项为正数的数列满足，求

答案：

15.已知，且，求

答案：

16.已知且，求

答案：

17．已知，求通项an．

答案：

18.已知是首项为1，公差为的等差数列，且。

（1）求证：也是等差数列；

（2）若，

如此构成数列，求数列的通项公式。

答案：

二．数列求和

1． 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论．；③常用公式：，，．

例．已知，求的前n项和.

答案：

2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和． 

例2． 求数列的前n项和：，…

答案：

3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）．

例3．求的值

答案：

4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）．

例4． 求和：………………………①

例5．求数列前n项的和．

答案：

5．裂项相消法：如果数列的通项可“成两项差”的形式，且相邻项后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：

①；②；

③，；

④ ；⑤；

⑥．    

例6．求数列的前n项和．

答案：

例7．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和．

答案：

6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

例8 ．求之和．

答案：

三．能力综合

1．数列{an}的通项公式为an=，已知前m项和Sm=9，则m为(    )    

A． 99             B．98               C．10              D．9    

2．数列1，1+2，l+2+22，…，1+2+22+…+2n-1前n项和等于(    )    

A．2n+1-n           B．2n               C．2n-n              D．2n+1-n-2

3．数列的首项为3，为等差数列且，若，则（   ）

A．0               B．3               C．8                 D．11

4．设数列满足且。

（1）求的通项公式；（2）设，记，证明：

5．如果f(x+y)=f(x)·f(y)，且 f(1)=-2，则等于       

答案：-502

6．设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1

(l)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn

答案：（1）（2）

7．求满足下列条件的数列的通项公式。

（1）已知满足，求；

（2）已知满足，且，求。

答案：（1）（2）

8．求下面各数列的前n项和。

（1）；   （2）

9．设函数的定义域为N+，且满足，，求。

10．设正值数列{}的前n项和为，满足

（1）求，，

（2）求出数列{}的通项公式(写出推导过程)

（3）设求数列{}的前n项和

答案：（1）；（2）；（3）

11．已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…构造一个新数列：a1，(a2 –a1)，（a3-a2），…，（an-an-1）…，此数列是首项为1，公比为的等比数列

  (l)求数列{an}的通项；                 (2)求数到{an}的前n项和Sn

12．已知数列{an}的首项a1=，，n=1，2，…

(1)证明：数列是等比数列；        (2)求数列的前n项和Sn

13．（2012大连一模）已知各项均为正数的数列满足。

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列前n项和。

答案：（1）（2）

14．（2012东三省第一次联考）数列前n项和，且，数列满足，且。

（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，其前n项和为，求。

答案：（1）；（2）

15．（2012东三省第三次联考）数列满足，且

（1）求数列的通项公式；（2）令，当数列为递增数列时，求正实数的取值范围。

答案：（1）（2）