2010年北京科技大学高等数学竞赛试题

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一、选择题（每题2分, 共20分）

1.    设函数与均可导, 且, 则必有 (    ).

(A);                       (B)； 

(C)；        (D).

2. 设函数满足：又在有, 则(    ).

(A)；             (B)；       (C)；         (D) 0

3. 积分条件收敛的充要条件是满足(   ).

(A)；  (B)  ；  (C)；   (D).

4. 在上方程的实根个数为 (   ).

(A)  1；    (B) 2；    (C) 3；    (D)  0.

5. 如果级数收敛，级数绝对收敛, 则(  ).

(A) 条件收敛；              (B) 绝对收敛；  

(C) 发散；                 (D) 不确定.

6. 若， 则 (    ).

(A)  ；                (B)  ；        

(C)  ；            (D)  .

7. 设其中具有连续的导数且, 则在处 (  ).

(A) 连续;    (B) 不连续；    (C) 可导；        (D) 不确定.

8．曲面积分I= (     ), 其中

的上侧,

.  (A)；               (B)；        

(C)；              (D).

9．设函数具有二阶连续导数，函数满足方程，则  (     ).

 (A)；    (B)； 

(C)；    (D).

10. (     ).  

(A)  ；   (B)  ；  (C)  ；        (D).

二、填空题（每小题3分, 共60分）

1. 极限           .   

2.  极限           .   

3. 极限         .

4. 计算积分  0    . 

5. 设在内连续，，且对满足

，

则=              .

6. 设在内可导,，x>0, 则

=          .

7.计算无穷级数 

        . 

8. 级数的收敛范围是          .

9. 求直线L：在平面上的投影直线方程为          .

10. 设, 其中f在[0，1]上连续，，则          .

11. 设的所有二阶偏导数都连续，则        ；           .

12. 函数在圆域上的最大值为      以及最小值为             .    

13. 计算            .

14. 设是由, 围成。积分

=        .

15. 已知三个向量满足，且，则    .

16. 求在椭球面上的点的外法线方向的导数                  .

17. 计算=         ， 其中.

18. 计算积分     ， 

其中是从经到再回到的三角形。

19.  设，则              .  

20. 设满足： 1）连续可微且，

2）在右半平面内沿任一分段光滑封闭曲线l的积分有

, 则

        . 

三、证明题（每题10分, 共20分）

1. 设序列满足：, 证明:  收敛，并求极限.

2．设二次可微,试证