第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类-2015)

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

（1）极限                          .

（2）设函数由方程所决定，其中具有连续偏导数，且。则                                        .

（3）曲面在点的切平面与曲面所围区域的体积是                                        .

（4）函数在的傅立叶级数在收敛的值是                                     .

（3）设区间上的函数定义域为的，则的初等函数表达式是                                        .

二、（12分）设是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

三、（12分）设在内二次可导，且存在常数，使得对于，有，则在内无穷次可导。

四、（14分）求幂级数的收敛域，及其和函数。

五、（16分）设函数在上连续，且。试证：

（1）使

（2）使

六、（16分）设在上有连续的二阶偏导数，且。若

证明：。