2021年天津市高考数学和答案

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（　　）

A．{0}    B．{0，1，3，5}    C．{0，1，2，4}    D．{0，2，3，4}

2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（　　）

A．    B．    

C．    D．

4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（　　）

A．20    B．40    C．    D．80

5．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（　　）

A．a＜b＜c    B．c＜a＜b    C．b＜c＜a    D．a＜c＜b

6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（　　）

A．3π    B．4π    C．9π    D．12π

7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（　　）

A．﹣1    B．lg7    C．1    D．log710

8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．2    D．3

9．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（　　）

A．（2，]∪（，]    B．（，2]∪（，]    

C．（2，]∪[，3）    D．（，2）∪[，3）

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．（5分）i是虚数单位，复数＝　    　．

11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是 　    　．

12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝　           　．

13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为 　            　．

14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 　              　；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 　              　．

15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为 　 　；（+）•的最小值为 　 　．

三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：1：，b＝．

（1）求a的值；

（2）求cosC的值；

（3）求sin（2C﹣）的值．

17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．

（1）求证：D1F∥平面A1EC1；

（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；

（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．

18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．

19．（15分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前的和为．数列{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn＝b2n+，n∈N*．

（i）证明：{cn2﹣c2n}是等比数列；

（ii）证明：＜2（n∈N*）．

20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xex．

（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；

（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．

 答案 

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．解析：利用集合交集与并集的定义求解即可．

【答案：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，

所以A∩B＝{1}，

则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．

故选：C．

2．解析：求解a2＞36，得出a＞6或a＜﹣6，根据充分必要的定义判断即可得出答案．

【答案：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，

②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，

∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，

故选：A．

3．解析：根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再分析（0，1）上函数值的符号，排除D，即可得答案．

【答案：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，

有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，

在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，

故选：B．

4．解析：由频率分布直方图先求频率，再求频数，即评分在区间[82，86）内的影视作品数量即可．

【答案：由频率分布直方图知，

评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，

故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，

故选：D．

5．解析：利用指数函数和对数函数的性质．

【答案：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，

∵＞log0.5＝1，∴b＞1，

∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，

∴a＜c＜b，

故选：D．

6．解析：由题意画出图形，由球的体积求出球的半径，再由直角三角形中的射影定理求得截面圆的半径，代入圆锥体积公式得答案．

【答案：如图，设球O的半径为R，由题意，，

可得R＝2，则球O的直径为4，

∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，

由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．

∴这两个圆锥的体积之和为V＝．

故选：B．

7．解析：对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．

【答案：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，

∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，

故选：C．

8．解析：由题意可得p，c的关系，再由双曲线及渐近线的对称性，将双曲线的方程和渐近线的方程与抛物线的准线联立求出|AB|，|CD|的一半的表达式，由题意可得a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．

【答案由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x轴分别交于M，N，

由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，

由题意可得：＝c，即p＝2c，

可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，

可得：|y|＝，所以|CN|＝，

所以可得＝•，可得c＝b，

所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），

解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，

故选：A．

9．解析：分x＜a，x≥a两种情况讨论，当x＜a时，且 时，f（x）有4个零点，，f（x）有5个零点，，f（x）有6个零点，当x＞a时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，当a＝2时，f（x）有一个零点，综合两种情况，即可求解．

【答案：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点

又∵二次函数最多有两个零点，

∴当x＜a时，f（x）＝0至少有四个根，

∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），

∴令f（x）＝0，即  k∈Z，

∴，

又∵x∈（0，+∞），

∴，即，

①当x＜a时，﹣5≤﹣4，f（x）有4个零点，即，

﹣6≤﹣5，f（x）有5个零点，即，

﹣7≤﹣6，f（x）有6个零点，即，

②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，

∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，

当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，

当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，

当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，

∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，

∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，

当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，

综合①②可得，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则需满足：

或或，

解得a∈（2，]∪（，]．

故选：A．

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．解析：利用复数的运算法则即可得出．

【答案：复数＝＝＝4﹣i，

故答案为：4﹣i．

11．解析：求出展开式的通项公式，令x的指数为6，求出r的值，即可求得x6的系数．

【答案：（2x3+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣rx18﹣4r，

令18﹣4r＝6，解得r＝3，

所以x6的系数是23＝160．

故答案为：160．

12．解析：由题意如图可得AB与半径BC的关系，再由切线的斜率可得|AB|的值．

【答案假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，

则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，

由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝，

故答案为：．

13．解析：先利用基本不等式得到++b≥+b，再利用基本不等式得到+b≥2，最后求出两次利用基本不等式取等号时的a，b的值即可．

【答案：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，

当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，

∴++b的最小值为 2，

故答案为：2．

14．解析：根据相互事件概率乘法公式求出一次活动中，甲获胜的概率，再利用直接法求出3次活动中，甲至少获胜2次的概率．

【答案：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，

∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．

故答案为：，．

15．解析：设BE＝x，表示出BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，利用数量积的定义与性质即可求出．

【答案：如图，设BE＝x，

∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，

∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，

∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，

∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，

则|2+|＝1，

∵（+）•＝（+）•（+）＝+•

＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1

＝5+，x∈（0，），

∴（+）•的最小值为．

故答案为：1，．

三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．解析：（1）由题意利用正弦定理，求得a的值．

（2）由题意利用余弦定理计算求得结果．

（3）先来用二倍角公式求得2C的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得sin（2C﹣）的值．

【答案：（1）∵△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，

∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．

（2）△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＝＝．

（3）由（2）可得sinC＝＝，

∴sin2C＝2sinCcosC＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，

sin（2C﹣）＝sin2Ccos﹣cos2Csin＝．

17．解析：（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面A1EC1的法向量，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明；

（2）利用（1）中的结论，由向量的夹角公式求解，即可得到答案；

（3）利用待定系数法求出平面AA1C1的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．

【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），

故，

设平面A1EC1的法向量为，

则，即，

令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，

又F（1，2，0），D1（0，2，2），

所以，

则，又D1F⊄平面A1EC，

故D1F∥平面A1EC1；

（2）解：由（1）可知，，

则＝＝，

故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；

（3）解：由（1）可知，，

设平面AA1C1的法向量为，

则，即，

令a＝1，则b＝﹣1，故，

所以＝＝，

故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．

18．解析：（1）由离心率e＝，|BF|＝，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．

（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得N点的坐标，由PN⊥BF，推出kNP＝2，设P（x1，0），则x1＝﹣，由MP∥BF，得x0＝﹣2y0﹣，结合+y02＝1，解得y0，x0，即可得出答案．

【答案：（1）因为离心率e＝，|BF|＝

所以，解得a＝，c＝2，b＝1，

所以椭圆的方程为+y2＝1．

（2）设M（x0，y0），

则切线MN的方程为+y0y＝1，

令x＝0，得yN＝，

因为PN⊥BF，

所以kPN•kBF＝﹣1，

所以kPN•（﹣）＝﹣1，解得kNP＝2，

设P（x1，0），则kNP＝＝2，即x1＝﹣，

因为MP∥BF，

所以kMP＝kBF，

所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，

所以x0＝﹣2y0﹣，

又因为+y02＝1，

所以+++y02＝1，

解得y0＝±，

因为yN＞0，

所以y0＞0，

所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，

所以+y＝1，即x﹣y+＝0．

19．解析：（1）由等差数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到an；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到bn；

（2）（i）利用已知数列的通项公式，表示出cn，然后利用等比数列的定义证明即可；

（ii）设，然后利用放缩法得到，再利用错位相减法求解数列{}的和，即可判断以，从而证明不等式．

【解答】证明：（1）由数列{an}是公差d为2的等差数列，其前的和为，

可得8a1+×8×7d＝，解得a1＝1，

所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；

由数列{bn}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，

可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），

所以bn＝4n，n∈N*；

（2）（i）证明：因为an＝2n﹣1，bn＝4n，

所以cn＝b2n+＝42n+，

则cn2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2•4n，

所以，

又，

所以数列{cn2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；

（ii）证明：设＝，

考虑，则pn＜qn，

所以qk＝++...+，

则，

两式相减可得，＝＝，

所以，

则＜＜2，

故＜2．

20．解析：（1）先求导函数，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式表示出切线即可；

（2）令f'（x）＝0，将a分离，然后利用导数研究另一侧函数的单调性，画出图象，可知当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，然后判定在交点处左右导数符号，从而可得结论；

（3）由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）em，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝（m2﹣m﹣1）em（m＞﹣1），构造h（x）＝（x2﹣x﹣1）ex（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，最后利用导数研究其最值，即可求出所求．

【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）ex，所以f'（0）＝a﹣1，而f（0）＝0，

所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；

（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）ex＝0，则a＝（x+1）ex，

令g（x）＝（x+1）ex，则g'（x）＝（x+2）ex，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，

当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，

当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，

作出图象

所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，

则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，

当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；

当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；

所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；

（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），

此时a＝（1+m）em，（m＞﹣1），

所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）mem﹣mem﹣（1+m）em＝（m2﹣m﹣1）em（m＞﹣1），

令h（x）＝（x2﹣x﹣1）ex（x＞﹣1），

若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，

则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，

而h'（x）＝（x2+x﹣2）ex＝（x﹣1）（x+2）ex，（x＞﹣1），

当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，

当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，

所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，

所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．