第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)+答案

（非数学类，2012）

本试卷共2页，共6题。全卷满分100分。考试用时150分钟。

一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.

(1) 

解： 

(2) 

解：    （令）

(3) 设函数有二阶连续偏导数, 满足且,是由方程所确定的函数. 求

解：依题意有，是函数，、是自变量。将方程两边同时对求导，   ，则  ，于是

(4) 求不定积分

解： 

(5) 求曲面和所围立体的表面积

解：联立，，解得两曲面的交线所在的平面为，

它将表面分为与两部分，它们在平面上的投影为，

  在上 

在上 

则  

二、（本题13分）讨论的敛散性，其中是一个实常数.

解：记 

① 若，；则发散

② 若，则，而；所以

发散。

③ 若，即，考  级数敛散性即可

   当时， 

   对任何，我们有

  这样，存在，使得.

  从而可知，当，时，所讨论的积分收敛，否则发散。

三、（本题13分）设在上无穷次可微，并且满足:存在，使得，，,且，求证：在上， 

证明：因为在上无穷次可微，且，所以                                 （*）

由   ，， 得，

于是  

由罗尔定理，对于自然数在上，存在，使得

     ，且

这里 

在上，对应用罗尔定理，存在

，使得，且

于是    

类似的，对于任意的，有

有（*）   

四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）

设D为椭圆形，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点(其中)垂直于薄板的旋转轴. 

1. 求薄板D绕l旋转的转动惯量J； 

2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.

解：1. 

2.设J固定，是确定的隐函数，则

，对关于求导，

五、（本题12分）设连续可微函数由方程（其中有连续的偏导数）唯一确定, L为正向单位圆周. 试求： 

解：由格林公式

又：连续可微函数由方程

两边同时对求偏导数： 

两边同时对求偏导数： 

代入上式：

六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）

(1)求解微分方程

(2)如为上述方程的解，证明