基础自测
1.（2008· 山东，1）满足M ⊆{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是 （ ）
A .1
B .2
C .3
D .4
答案 B
2.(2009·安徽怀远三中月考)若A ={}4,3,2，B ={}n m A n m m n x x ≠∈=,,·
|、，则集合B 的元素个数为 （ ） A .2 B .3 C .4 D .5 答案 B
3.设全集U ={
}7,5,3,1，集合M ={},|5|,1-a M ⊆U ，U M ={}7,5，则a 的值为 （ ） A .2或-8 B .-8或-2 C .-2或8 D .2或8 答案 D
4.(2008·四川理，1)设集合U ={
},5,4,3,2,1A ={},3,2,1B ={}4,3,2,则U （A B ）等于 （ ） A .{}3,2 B .{
}5,4,1 C .{}5,4 D .{}5,1 答案 B
5.设U 为全集，非空集合A 、B 满足A B ，则下列集合为空集的是 （ ）
A .A
B B .A ( U B ）
C .B (
U A ）
D .（U A ） （U B ）
答案 B
例1 若a ,b ∈R ,集合{},,,0,,1⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=+b a b a b a 求b -a 的值.
解 由{}⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1可知a ≠0，则只能a +b =0，则有以下对应关系：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧===+10b a a b
b a ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
===+10a
b a
b b a ② 由①得,11
⎩
⎨⎧=-=b a 符合题意；②无解.所以b -a =2.
例2 已知集合A ={}510|≤+ (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围； (3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由. 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a =0，则A =R ; ②若a ＜0，则A =;14 |⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤a x a x ③若a ＞0，则A=,41|⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧ ≤ <-a x a x (1) 当a =0时，若A ⊆B ，此种情况不存在.当a ＜0时，若A ⊆B ，如图， 则,21214⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->a a ∴， ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<218a a ∴a ＜-8. 当a ＞0时，若A ⊆B ，如图， 则,2 4211 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-a a ≨.22⎩⎨⎧≥≥a a ≨a ≥2.综上知，此时a 的取值范围是a ＜-8或a ≥2. (2)当a =0时，显然B ⊆A ；当a ＜0时,若B ⊆A ，如图， 则，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤21214a a ≨,218⎪⎩⎪⎨⎧->-≥a a ≨-21则,2 4211 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-a a ≨,22⎩⎨⎧≤≤a a ≨0＜a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，-.221≤ 例3（12分）设集合A ={}023|2=+-x x x ,B {}0)5()1(2|22=-+++=a x a x x . (1)若A B ={}2,求实数a 的值； (2)若A B =A,求实数a 的取值范围； (3)若U =R ，A （U B ）=A .求实数a 的取值范围. 解 由x 2 -3x +2=0得x =1或x =2,故集合A ={ }.2,1 （1）≧A B ={}2,≨2∈B ,代入B 中的方程,得a 2 +4a +3=0,≨a =-1或a =-3. 1分 当a =-1时，B ={} {},2,204|2-==-x x 满足条件； 当a =-3时，B ={} {},2044|2==+-x x x 满足条件； 综上，a 的值为-1或-3. 3分 （2）对于集合B ，∆=4(a +1)2 -4(a 2 -5)=8(a +3). ≧A B =A,≨B ⊆A , ①当∆＜0,即a ＜-3时，B =∅，满足条件； ②当∆=0，即a =-3时，B ={}2，满足条件； ③当∆＞0，即a ＞-3时，B =A ={ }2,1才能满足条件， 5分 则由根与系数的关系得 ,521) 1(2212 ⎪⎩ ⎪⎨⎧-=⨯+-=+a a 即,7252⎪⎩ ⎪⎨⎧=-=a a 矛盾； 综上，a 的取值范围是a ≤-3. 7分 （3）≧A （U B ）=A ，≨A ⊆ U B ，≨A B=;∅ 8分 ①若B =;∅，则∆＜03-<⇒a 符合； ②若B ≠;∅，则a =-3时，B ={}2，A B {}2=，不合题意； a ＞-3，此时需1∉B 且2∉B .将2代入B 的方程得a =-1或a =-3（舍去）； 将1代入B 的方程得a 2 +2a -2=0.31±-=⇒a ≨a ≠-1且a ≠-3且a ≠-1.3± 11分 综上，a 的取值范围是a ＜-3或-3＜a ＜-1-3或-1-3＜a ＜-1或-1＜a ＜-1+3或a ＞-1+.3 12分 例4 若集合A 1、A 2满足A 1 A 2=A ,则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2,，A 1）为集合 A 的同一种分拆，则集合A ={ }3,2,1的不同分拆种数是 （ ） A .27 B .26 C .9 D .8 答案 A 1.设含有三个实数的集合可表示为{},2,,d a d a a ++也可表示为{} ,,,2aq aq a 其中a ,d ,q ∈R ,求常数q . 解 依元素的互异性可知，a ≠0,d ≠0，q ≠0,q ≠1±. 由两集合相等，有（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2 2,aq d a aq d a 或（2）⎪⎩ ⎪⎨⎧=+=+.2,2aq d a aq d a 由（1）得a +2a （q -1）=aq 2,≧a ≠0, ≨q 2 -2q +1=0,≨q =1(舍去). 由（2）得a +2a (q 2-1)=aq ,≧a ≠0,≨2q 2 -q -1=0,≨q =1或q =-.21 ≧q ≠1, ≨q =-,21 综上所述,q =-.2 1 2.（1）若集合P ={} ,06|2=-+x x x S {},01|=+=ax x 且S ⊆P ,求a 的可取值组成的集合； （2）若集合A ={},52|≤≤-x x B {},121|-≤≤+=m x m x 且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合. 解 （1）P ={}.2,3-当a =0时，S =∅，满足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax +1=0的解为x =-,1a 为满足S ⊆P ,可使31-=- a 或,21=-a 即a =31或a =-.21故所求集合为.21,31,0⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧- （2）当m +1＞2m -1，即m ＜2时，B =∅，满足B ⊆A ;若B ≠∅，且满足B ⊆A ,如图所示， 则,51221,121⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+m m m m 即⎪⎩ ⎪⎨⎧≤-≥≥3,32 m m m ≨2≤m ≤3. 综上所述，m 的取值范围为m ＜2或2≤m ≤3,即所求集合为{}.3|≤m m 3.（2009·菏泽模拟）已知集合P ={x | 21≤x ≤3}，函数f (x )= log 2(ax 2 -2x +2)的定义域为Q .若P ∩Q =［21，3 2），P ∪Q =（-2，3］，求实数a 的值. 解 由条件知Q =（-2， 3 2 ）， 即ax 2 -2x +2>0的解集为（-2， 3 2 ）. ≨a <0,且ax 2 -2x +2=0的两根为-2, 3 2, ≨,34 2342⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=a a ≨a =-23. 4.设集合S ={}3210,,,A A A A ，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ,其中k 为i +j 被4除的余数， i ,j =0，1，2，3,则满足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 （ ） A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B 一、选择题 1.(2008·江西理，2)定义集合运算：A *B ={}.,,|B y A x xy z z ∈∈=设A ={ }{},2,0,2,1=B 则集合A *B 的所有元素之和为 （ ） A .0 B .2 C .3 D .6 答案 D 2.已知全集U {}9,7,5,3,1,0=， A U B = {},1B {},7,5,3=那么（ U A ）( U B ）等于 （ ） A .{}7,3,0 B .{}9,0 C .∅ D .{}7 答案 B 3. 设全集U =R ,集合M ={x |x ≤1或x ≥3},集合P ={}R ∈+< A .k ＜0或k ＞3 B .1＜k ＜2 C .0＜k ＜3 D .-1＜k ＜3 答案 C 4.(2008·安徽理，2)集合A ={}，1,g 1|R >=∈x x y y B {},2,1,1,2--=则下列结论中正确的是 （ ） A .A B {}1,2--= B .( R A ) B （=-∞,0） C .A B ， （0=+∞） D .(R A ) B {}12--=， 答案 D 5.已知集合P ={（x ，y ）||x |+|y |=1}，Q ={（x ，y ）|x 2 +y 2 ≤1}，则 ( ） A .P Q B .P =Q C .P Q D .P ∩Q =Q 答案 A 6.(2008·长沙模拟) 已知集合A ={x |y =21x -,x ∈Z }，B ={y |y =x 2 +1,x ∈A },则A ∩B 为 （ ） A .∅ B .［0，+∞） C .{1} D .{（0，1）} 答案 C 二、填空题 7.集合A ={x ||x -3|0}，B ={x |x 2 -3x +2<0}，且B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 . 答案 ［2，+∞） 8.(2008·福建理，16) 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a -b 、ab 、 b a ∈P （除数b ≠0）,则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域;数集F ={a +b 2|a ,b ∈Q }也是数域.有下列命题: ①整数集是数域; ②若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域; ③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上) 答案 ③④ 三、解答题 9.已知集合A ={x |mx 2 -2x +3=0，m ∈R }. （1）若A 是空集，求m 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求m 的值； （3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围. 解 集合A 是方程mx 2 -2x +3=0在实数范围内的解集. (1)≧A 是空集，≨方程mx 2 -2x +3=0无解.≨Δ=4-12m <0,即m > 3 1 . （2）≧A 中只有一个元素，≨方程mx 2 -2x +3=0只有一个解. 若m =0，方程为-2x +3=0，只有一解x =23 ;若m ≠0，则Δ=0，即4-12m =0,m =3 1. ≨m =0或m = 3 1 . (3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m =0或m ≥ 3 1. 10.（1）已知A ={a +2，( a +1)2，a 2 +3a +3}且1∈A ，求实数a 的值； （2）已知M ={2，a ，b }，N ={2a ，2，b 2 }且M =N ，求a ，b 的值. 解（1）由题意知：a +2=1或(a +1)2 =1或a 2+3a +3=1， ≨a =-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2, ≨a =0即为所求. （2）由题意知,,21 4100102222 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ ==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==b a b a b a a b b a b b a a 或或或 根据元素的互异性得⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ==⎩⎨⎧==21 4110b a b a 或即为所求. 11.已知集合A =,R ,116|⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧∈≥+x x x B ={} ,02|2<--m x x x （1）当m =3时，求A (R B )； （2）若A B {}41|<<-=x x ，求实数m 的值. 解 由 ,116 ≥+x 得,01 5≤+-x x ≨-1＜x ≤5,≨A ={}51|≤<-x x . （1）当m =3时，B ={}31|<<-x x ，则R B ={}31|≥-≤x x x 或，≨A （R B ）={}53|≤≤x x . (2)≧A ={}{},41|,51|<<-=≤<-x x B A x x ≨有42 -2×4-m =0,解得m =8. 此时B ={}42|<<-x x ,符合题意，故实数m 的值为8. 12.设集合A ={（x ,y ）|y =2x -1,x ∈N * },B ={(x ,y )|y =ax 2 -ax +a ,x ∈N * }，问是否存在非零整数a ,使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 假设A ∩B ≠∅，则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=a ax ax y x y 2 12有正整数解，消去y ,得ax 2 -(a +2)x +a +1=0. (*) 由Δ≥0，有(a +2)2 -4a (a +1)≥0, 解得- 3 3 2332≤ ≤a .因a 为非零整数，≨a =±1， 当a =-1时，代入（*）， 解得x =0或x =-1, 而x ∈N * .故a ≠-1. 当a =1时，代入（*）, 解得x =1或x =2，符合题意.故存在a =1,使得A ∩B ≠∅,此时A ∩B ={（1，1），（2，3）} §1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 基础自测 1.下列语句中是命题的是 （ ） A .|x +a | B.{}0∈N C .元素与集合 D .真子集 答案 B 2.（2008·湖北理，2）若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ，且B 不是A 的子集，则 （ ） A .“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B .“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C .“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件 答案 B 3.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的（） A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题 答案 C 4.（2008·浙江理，3）已知a,b都是实数,那么“a2>b2”是“a>b”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 5.设集合A、B，有下列四个命题： ①A B⇔对任意x∈A都有x∉B; ②A B⇔A∩B=∅;③A B⇔B A; ④A B⇔存在x∈A,使得x∉B. 其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上） 答案④ 例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. （1）正三角形的三内角相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d. 解（1）原命题:若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等. 逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）. 否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等. 逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）. (2)原命题:若两个三角形全等，则它们的面积相等. 逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）. 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）. 逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等. （3）原命题:已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d”.其中“已知a,b,c,d是实数”是大前提，“a与b,c与d都相等”是条件p，“a+c=b+d”是结论q，所以 逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等. 否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+c≠b+d. 逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等. 例2 指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件” 中选出一种作答）. （1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sin A=sin B； （2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6; （3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B； （4）已知x、y∈R，p：(x-1)2 +(y-2)2=0，q：（x-1）（y-2）=0. 解（1）在△ABC中，∠A=∠B⇒sin A=sin B，反之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件. (2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q⇒⌝p.但⌝p⌝q,即⌝q 是⌝p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的 等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p⇒q但q p,故p是q的充分不必要条件. 例3（12分）已知ab≠0， 求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 证明（必要性） ∵a+b=1，∴a+b-1=0， 1分 ∴a3+b3+ab-a2-b2=（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2） 4分 =（a+b-1）（a2-ab+b2）=0. 6分 （充分性） ∵a3+b3+ab-a2-b2=0， 即（a +b -1）（a 2-ab +b 2 ）=0， 8分 又ab ≠0,≨a ≠0且b ≠0, ∴a 2-ab +b 2 =（a -4 3)22 b b 2>0, ∴a +b -1=0,即a +b =1, 10分 综上可知,当ab ≠0时,a +b =1的充要条件是 a 3 +b 3 +ab -a 2 -b 2 =0. 12分 1. 写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： （1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； （2）矩形的对角线互相平分且相等； （3）相似三角形一定是全等三角形. 解 （1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”. 原命题为真命题，否命题也为真命题. （2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等” 原命题是真命题，否命题是假命题. （3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. 原命题是假命题，否命题是真命题. 2.（2008·湖南理，2）“|x -1|<2成立”是“x (x -3)<0成立”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 3. 证明一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性：若ac <0,则b 2-4ac >0,且 a c <0, ≨方程ax 2+bx +c =0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根，则Δ=b 2-4ac >0,x 1x 2=a c <0,≨ac <0. 综上所述，一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 一、选择题 1.下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a >b,则a +c >b +c ”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 （ ） A .0 B .1 C .2 D .3 答案 B 2.（2008·重庆理，2）设m ，n 是整数，则“m ，n 均为偶数”是“m +n 是偶数”的 （ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 3.“x >1”是“x 2 >x ”的 （ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 4. 对任意实数a ,b ,c ，给出下列命题： ①“a =b ”是“ac =bc ”的充要条件； ②“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2 >b 2 ”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 （ ） A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B 5. 在△ABC 中，“sin2A = 2 3 ”是“A =30°”的 ( ） A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B 6.（2008·安徽理，7）a <0是方程ax 2 +2x +1=0至少有一个负数根的 （ ） A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题 7.设集合A ={}{} ,034|,4|||2>+-= {},0|),(,1)1(|),(22≥++==-+m y x y x B y x y x 则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是 . 答案 m 12-≥ 三、解答题 9. 求关于x 的方程x 2 -mx +3m -2=0的两根均大于1的充要条件. 解 设方程的两根分别为x 1、x 2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是 ⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧>-->-+-≥--=∆,0)1)(10)1()1(,0)23(421 212x x x x m m （， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++->-+≥+-=∆.01)(02)(,0812*******x x x x x x m m ， 又≧x 1+x 2=m ,x 1x 2=3m -2, ≨⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎨⎧ > >-≤+≥21,2,726726m m m m 或 故所求的充要条件为m ≥6+27. 10. 已知x ,y ∈R . 求证：|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0. 证明（充分性） 若xy ≥0,则x ,y 至少有一个为0或同号.≨|x +y |=|x |+|y |一定成立. （必要性） 若|x +y |=|x |+|y |,则(x +y )2 =(|x |+|y |)2 , x 2 +2xy +y 2 =x 2 +2|xy |+y 2 , ≨xy =|xy |,∴xy ≥0. 综上，命题得证. 11. a ,b ,c 为实数，且a =b +c +1.证明：两个一元二次方程x 2+x +b =0,x 2 +ax +c =0中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则 Δ1=1-4b ≤0,Δ2=a 2 -4c ≤0, ≨Δ1+Δ2=1-4b +a 2 -4c ≤0. ≧a =b +c +1,≨b +c =a -1. ≨1-4(a -1)+a 2 ≤0,即a 2 -4a +5≤0. 但是a 2 -4a +5=(a -2)2 +1>0,故矛盾. 所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 12.设α、β是方程x 2 -ax +b =0的两个根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？ 解 令p :a>2,且b>1;q : α>1,且β>1,易知α+β=a ,αβ=b . ①若a>2,且b>1,即，⎩⎨⎧>>+12αββα不能推出α>1且β>1.可举反例：若⎪⎩ ⎪ ⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+，216 3216βααββα，则所以由p 推不出q ； ②若α>1,且β>1，则α+β>1+1=2, αβ>1.所以由q 可推出p .综合知p 是q 的必要不充分条件，也即a>2,且b>1是两根α、 β均大于1的必要不充分条件. §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 基础自测 1.已知命题p :,1sin ,≤∈∀x x R 则 （ ） A .1sin ,:≥∈∃⌝x x p R B .1sin ,:≥∈∀⌝x x p R C .1sin ,:x ＞x p R ∈∃⌝ D .1sin ,:>∈∀⌝x x p R 答案 C 2.已知命题p :3≥3;q :3＞4，则下列选项正确的是 （ ） A .p ∨q 为假，p ∧q 为假,⌝p 为真 B .p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为真 C .p ∨q 为假，p ∧q 为假，⌝p 为假 D . p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假 答案 D 3. (2008·广东理，6)已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题 的是 （ ） A .( p ⌝)q ∨ B .q p ∧ C .( p ⌝)∧()q ⌝ D .( p ⌝))(q ⌝∨ 答案 D 4. 下列命题中是全称命题的是 （ ） A .圆有内接四边形 B .3 ＞2 C .3≤2 D .若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形 答案 A 5.命题：“至少有一个点在函数y =kx (k ≠0)的图象上”的否定是 （ ） A .至少有一个点在函数y =kx (k ≠0)的图象上 B .至少有一个点不在函数y =kx (k ≠0)的图象上 C .所有点都在函数y =kx (k ≠0)的图象上 D .所有点都不在函数y =kx (k ≠0)的图象上 答案 D 例1分别指出由下列命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“⌝p ”形式的命题的真假. (1)p :3是9的约数,q :3是18的约数; (2)p :菱形的对角线相等,q :菱形的对角线互相垂直; (3)p :方程x 2 +x -1=0的两实根符号相同, q :方程x 2 +x -1=0的两实根绝对值相等. (4)p :π是有理数,q : π是无理数. 解 (1)≧p 是真命题，q 是真命题，≨p ∨q 是真命题，p ∧q 是真命题，⌝p 是假命题. (2)≧p 是假命题,q 是真命题, ≨p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，⌝p 是真命题. (3)≧p 是假命题，q 是假命题，∴p ∨q 是假命题，p ∧q 是假命题，⌝p 是真命题. （4）≧p 是假命题，q 是真命题，≨p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，⌝p 是真命题. 例2 (12分) 已知两个命题r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0.如果对∀x ∈R ,r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题.求实数m 的取值范围 解 ≧sin x +cos x =2sin （x + 4 π ）≥-2， ≨当r (x )是真命题时，m <-2 2分 又≧对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2 +mx +1>0恒成立， 有Δ=m 2 -4<0,≨-2 例3写出下列命题的“否定”，并判断其真假. （1）p ：∀x ∈R ，x 2 -x + 4 1 ≥0； （2）q ：所有的正方形都是矩形； （3）r ：∃x ∈R ，x 2 +2x +2≤0； （4）s ：至少有一个实数x ，使x 3 +1=0. 解 （1）⌝p 04 1 ,:2<+-∈∃x x x R ，这是假命题， 因为0)2 1 (41,22≥-=+ -∈∀x x x x R 恒成立. (2)⌝q:至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. (3)⌝r 22,:2++∈∀x x x R ＞0，是真命题，这是由于11)1(22,22≥++=++∈∀x x x x R ＞0成立. (4)⌝s 1,:3+∈∀x x R ≠0，是假命题，这是由于x =-1时，x 3 +1=0. 1.分别指出由下列命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“⌝p ”形式的命题的真假. （1）p ：4∈{2，3}，q ：2∈{2，3}； （2）p ：1是奇数，q ：1是质数； （3）p ：0∈∅，q ：{x |x 2 -3x -5<0}⊆R ； （4）p ：5≤5，q ：27不是质数； （5）p ：不等式x 2 +2x -8<0的解集是{x |-4 解 （1）≧p 是假命题，q 是真命题，≨p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为真. （2）≧1是奇数，≨p 是真命题， 又≧1不是质数，≨q 是假命题，因此p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假. (3)≧0∅∉，≨p 为假命题， 又≧x 2 -3x -5＜0,2 29 32293,+<<-∴ x ≨{} R 22932293|053|2⊆⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-=<--x x x x x 成立. ≨q 为真命题.≨p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，⌝p 为真命题. （4）显然p ：5≤5为真命题，q :27不是质数为真命题， ≨p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，⌝p 为假命题. （5）≧x 2 +2x -8<0, ≨(x +4)(x -2)<0. 即-4＜x ＜2，≨x 2 +2x -8＜0的解集为{},24|<<-x x ≨命题p 为真，q 为假. ≨p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假. 2．已知a >0,设命题p ：函数y =a x 在R 上单调递减，q ：不等式x +|x -2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题， 求a 的取值范围. 解 由函数y =a x 在R 上单调递减知0则y =⎩⎨⎧<≥-)2(2)2(22a x a a x a x .不等式x +|x -2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ,所以2a >1，即a >21. 即q 真⇔a > 2 1 . 所以命题p 和q 有且只有一个命题正确的a 的取值范围是01 或a ≥1. 3.写出下列命题的否定并判断真假. （1）p ：所有末位数字是0的整数都能被5整除； （2）q ：∀x ≥0，x 2 >0; （3）r ：存在一个三角形，它的内角和大于180°; （4）t : 某些梯形的对角线互相平分. 解 （1）p ⌝:存在一个末位数字是0的整数不能被5整除,假命题. （2）q ⌝,0,0:2≤≥∃x x 真命题. （3）r ⌝：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题. （4）t ⌝：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题. 一、选择题 1.今有命题p 、q ，若命题m 为“p 且q ”，则“p ⌝ 或q ⌝”是m ⌝的 （ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 C 2.已知命题p :{}{} {},2,11:,0∈⊆∅q 由它们组成的“p 或q ”, “p 且q ”和“p ⌝”形式的复合命题中，真命题的 个数为 （ ） A .3 B .2 C .1 D .0 答案 C 3.“p ∨q ”为真命题”是“p ∧q 为真命题”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 4.(2009·安徽怀远三中月考)命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是（） A.不存在x∈R, x3-x2+1≤0 B. 存在x∈R, x3-x2+1≤0 C.存在x∈R, x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R, x3-x2+1>0 答案 C x A B，则p⌝是（） 5.若命题p:∈ A.x∈A且x∉B B.x∉A或x∉B C.x∉A且x∉B D.x∈A∪B 答案 B 6.若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有（） A.p真q真 B.p假q假 C.p真q假 D.p假q真 答案 B 二、填空题 7.（2008·扬州模拟）命题“∃x∈R，x≤1或x2>4”的否定是 . 答案∀x∈R，x>1且x2≤4 8.令p(x):ax2+2x+1>0,若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是 . 答案a>1 三、解答题 9.指出下列命题的真假： （1）命题“不等式(x+2)2≤0没有实数解”； （2）命题“1是偶数或奇数”；（3）命题“2属于集合Q，也属于集合R”； （4）命题“A A B”. 解（1）此命题为“⌝p”的形式,其中p:“不等式(x+2)2≤0有实数解”，因为x=-2是该不等式的一个解， 所以p是真命题，即⌝p是假命题，所以原命题是假命题. （2）此命题是“p∨q”的形式，其中p:“1是偶数”，q:“1是奇数”，因为p为假命题，q为真命题， 所以p∨q是真命题，故原命题是真命题. （3）此命题是“p∧q”的形式，其中p:“2属于集合Q”，q:“2属于集合R”，因为p为假命题,q为真命题， 所以p∧q是假命题，故原命题是假命题. （4）此命题是“⌝p”的形式，其中p:“A⊆A B”，因为p为真命题， 所以“⌝p”为假命题，故原命题是假命题. 10.写出下列命题的否命题及命题的否定形式,并判断真假: (1)若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根; (2)若x、y都是奇数，则x+y是奇数； （3）若abc=0，则a、b、c中至少有一个为零. 解（1）否命题：若m≤0，则关于x的方程x2+x-m=0无实数根；（假命题） 命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2+x-m=0无实数根；（假命题） （2）否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是奇数；（假命题） 命题的否定：若x、y都是奇数，则x+y不是奇数；（真命题） （3）否命题：若abc≠0,则a、b、c全不为0；（真命题） 命题的否定：若abc=0，则a、b、c全不为0.（假命题） 11.已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，“p且 q”为假命题，求m的取值范围. 解 由p 得：，⎪⎩ ⎪⎨⎧>>-=∆00 42m m 则m >2. 由q 知：Δ′=16(m -2)2-16=16(m 2 -4m +3)<0,则1 12312⎩⎨⎧<<≤⎩⎨ ⎧≥≤>m m m m m 或或解得m ≥3或1 （2）是否存在实数p ,使“4x +p <0”是“x 2 -x -2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围. 解 （1）当x >2或x <-1时,x 2 -x -2>0, 由4x +p <0,得x <-4p ,故-4 p ≤-1时， “x <-4 p ”⇒“x <-1” ⇒ “x 2-x -2>0”. ≨p ≥4时，“4x +p <0”是“x 2 -x -2>0”的充分条件. （2）不存在实数p 满足题设要求. 单元检测一 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.(2008·北京理，1) 已知全集U =R ,集合A ={x |-2≤x ≤3},B ={x |x <-1或x >4},那么集合A ∩(U B )等于 （ ） A .{}42|<≤-x x B .{}43|≥≤x x x 或 C.{}12|-<≤-x x D .{}31|≤≤-x x 答案 D 2.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 ( ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 3.（2009·合肥模拟）已知条件p ：(x +1)2 ＞4，条件q :x ＞a ,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值 范围是 （ ） A .a ≥1 B .a ≤1 C .a ≥-3 D .a ≤-3 答案 A 4.“a =2”是“直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 C 5.设集合M ={x |x >2}，P ={x |x <3},那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的 （ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B 6.在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ） 答案 B 7.已知命题p :∃x ∈R ，使tan x =1,命题q ：x 2 -3x +2<0的解集是{x |1 其中正确的是 （ ） A .②③ B .①②④ C .①③④ D .①②③④ 答案 D 8.(2008·天津理，6)设集合S ={x ||x -2|>3},T ={x |a D .a <-3或a >-1 答案 A 9.（2008·北京海淀模拟）若集合A ={1，m 2 }，集合B ={2，4}，则“m =2”是“A ∩B ={4}”的 （ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 10.若数列{a n }满足 221n n a a +=p （p 为正常数，n ∈N * ），则称{a n }为“等方比数列”. 甲：数列{a n }是等方比数列； 乙：数列{a n }是等比数列，则 ( ） A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件 C .甲是乙的充要条件 D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B 11.（2008·浙江理，2）已知U =R ，A ={x |x >0},B ={x |x ≤-1}，则（A ∩U B ）∪（B U A ）等于 （ ） A .∅ B .{x |x ≤0} C .{x |x >-1} D .{x |x >0或x ≤-1} 答案 D 12.下列命题中是全称命题并且是真命题的是 （ ） A .所有菱形的四条边都相等 B .若2x 为偶数，则∀x ∈N C .若对∀x ∈R ，则x 2 +2x +1>0 D .π是无理数 答案 A 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.设集合A ={5,log 2(a +3)}，集合B ={a ，b }，若A ∩B ={2}，则A ∪B = . 答案 {1，2，5} 14.已知条件p ：|x +1|>2,条件q :5x -6>x 2 ，则非p 是非q 的 条件. 答案 充分不必要 15.不等式|x |①若p 、q 为两个命题，则“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ②若p 为：∃x ∈R ，x 2 +2x +2≤0,则⌝p 为：∀x ∈R ，x 2 +2x +2>0; ③若椭圆25162 2y x + =1的两焦点为F 1、F 2，且弦AB 过F 1点，则△ABF 2的周长为16； ④若a ＜0,-1＜b ＜0,则ab ＞ab 2 ＞a . 所有正确命题的序号是 . 答案 ②④ 三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（12分）设命题p ：（4x -3）2 ≤1;命题q :x 2 -(2a +1)x +a (a +1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 设A ={x |(4x -3)2≤1},B ={x |x 2 -(2a +1)x +a (a +1)≤0},易知A ={x | 2 1 ≤x ≤1},B ={x |a ≤x ≤a +1}. 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，≨,1121⎪⎩ ⎪⎨⎧≥+≤ a a 故所求实数a 的取值范围是［0， 2 1 ］. 18.（12分）已知集合U =R ，U A ={} 06|2≠+x x x ，B ={x |x 2+3（a +1）x +a 2 -1=0}，且A ∪B =A ，求实数a 的取值范围. 解 ≧A ={0，-6}，A ∪B =A ，≨B ⊆A . (1)当B =A 时，由,10) 1(3)6(02 ⎪⎩ ⎪⎨⎧-=+-=-+a a 得a =1, (2)当B A 时， ①若B =∅，则方程x 2 +3(a +1)x +a 2 -1=0无实根.即Δ<0,得9(a +1)2 -4(a 2 -1)<0,解得-5 13 +3(a +1)x +a 2 -1=0有相等的实根， 即Δ=0,即a =-1或a =- 5 13 .由a =-1得B ={0},有B A ； 由a =-513,得B ={512}，不满足B A ，舍去，综上可知，-5
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