(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析)

一、选择题

1．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，1

2

a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（ ） A ．

31

2

+ B ．

31

2

- C ．3 D ．1

2．若平面向量与的夹角为，

，

，则向量的模为

（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30

B ．60︒

C ．90︒

D ．120︒

4．已知非零向量a →

，b →

夹角为45︒

，且2a =，2a b -=,则b →

等于（ ）

A ．2

B ．2

C 3

D 2

5．已知1a ，2a ，1b ，2b ，(

)*

k b k ⋅⋅⋅∈N

是平面内两两互不相等的向量，1

2

1a a

-=，

且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4

C ．5

D ．6

6．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为

（ ） A 21

B 2

C ．21+

D ．22+

7．已知20a b =≠，且关于x 的方程2

0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取

值范围是( )

A ．06

,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．,3ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

C ．2,33ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

8．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ）

A ．11,3

a c ==

B ．21,3

a c ==

C ．12,3

a c ==

D ．22,3

a c ==

9．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6

π

θ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为

1，则b =（ ） A ．

14

B ．

12

C ．2

D ．4

10．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．

1213

B ．1213

-

C ．45

-

D ．

45

11．已知ABC 中，3AB AC ==，且||||AB AC AB AC +=-，点D ，E 是BC 边的两个三等分点，则AD AE ⋅=（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

12．设非零向量a 与b 的夹角是23π

，且a a b =+，则22a tb b

+的最小值为（ ）

A ．

3

3

B ．

32

C ．

12

D ．1

二、填空题

13．已知向量()3,2OA =，()2,1OB =，O 点为坐标原点，在x 轴上找一个点M ，使得

AM BM ⋅取最小值，则M 点的坐标是___________.

14．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若

AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．

15．设10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，28AP AB λ-≥，PA PB ⋅的最小值为_______.

16．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，则AD AE ⋅的最大值为______．

17．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________.

18．已知平面非零向量,,a b c ，满足a b ⊥且||1c =，已知

2

2150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，则||a b +的取值范围是________

19．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则

()

CP BA BC ⋅-的最大值为______________.

20．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则

()()a b b c +⋅+=______.

三、解答题

21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23

BAC π

∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.

（1）求中线AD 的长；

（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.

22．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；

（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 23．已知向量()sin ,cos a x x =，(

)

3,1b =-，[]0,x π∈.

（1）若a b ⊥，求x 的值；

（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及AB ；

（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +. 25．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角.

26．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，()n a kb k R =-∈. （1）若n 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；

（2）若向量()1,1c =-，且n 与向量kb c +平行，求实数k 的值.

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为

31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得2

2

3124x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，表示以3,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

为圆心，1

2为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求 【详解】

解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为

31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,221⎛⎫-

⎪ ⎪⎝

⎭，设c 的坐标为(),x y ， 因为()()0a c b c -⋅-=，

所以3131,,02222x y x y ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2

2

3124x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝

⎭， 表示以3,02⎛⎫ ⎪

⎪⎝⎭

为圆心，12为半径的圆， 则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为32

，所以圆上的点到原点的距离的最小值为31

22-，

故选：B

【点睛】

此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题

2．C

解析：C 【解析】

，又

，

，则

，故选

3．B

解析：B 【分析】

首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=

，所以(()

1212)2e e e e +-+=3

2

，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，

则

3

12cos ,2

333παα==∴=⋅.

故答案为B 【点睛】

(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·

cos ,ab a b a b

=

,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221

1

2

2

cos x y x y

θ=

+⋅+.

4．A

解析：A 【分析】

根据数量积的运算，2a b →→

-=两边平方即可求解. 【详解】

2a b →

→-=,=2a →

,a

→，b →夹角为45︒, 2

2

2

2

()24a b a b a a b b →

→→→

→→→

→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos

||44

b b π

→

→

∴-⨯+=,

解得：||22b →

=

故选：A 【点睛】

本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.

5．D

解析：D 【分析】

根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】

如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时12

1A A =，

由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，

由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.

故选：D. 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.

6．C

解析：C 【分析】

通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】

∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，

∴可设()10a =，()01b =，()c x y ，=．

∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=，

∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．

∴c 的最大值2211121=+=

． 故选C ． 【点睛】 熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键． 7．B

解析：B

【分析】 根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果.

【详解】 关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 2

40a a b ∴∆=-⋅≥ 设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥

又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤

又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢

⎥⎣⎦

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 8．B

解析：B

【解析】

∵点P (a ,1,c )在直线AB 上，

∴存在实数λ使得AB BP λ=，

∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ，

化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，

∴3{31a c λλλλ-=-==- ,解得3{123

a c λ=-==. 本题选择B 选项.

9．C

解析：C

【分析】

由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos 62b a b t a a π⋅=-

=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin 16b π=，从而可求出b

【详解】

解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，

因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<， 所以()g t 恒大于零， 所以当232cos 622b b a b t a a a π⋅=-=-=-

时，()g t 取得最小值1， 所以2223332122b b b g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

， 化简得2114

b =， 所以2b =，

故选：C

【点睛】

此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题

10．A

解析：A

【分析】

根据向量平行，由平面向量的坐标运算列方程求出k 的值，再利用平面向量夹角公式求解即可.

【详解】

因为(6,4),(3,),a b k =-=且//a b ，

所以61202k k +=⇒=-，

(3,2),(2,3)b c =-=-， 12cos ,13

c b c b c b ⋅=

=， 故选：A.

【点睛】 本题主要考查向量平行的性质，考查了平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式的应用，属于基础题.

11．B 解析：B

【分析】

由||||AB AC AB AC +=-知，0AB AC ⋅=，根据平面向量的线性运算可推出 2133

AD AB AC =+，1233AE AB AC =+，故21123333AD AE AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，展开后代入数据进行运算即可. 【详解】

解：∵||||AB AC AB AC +=-，∴0AB AC ⋅=，

∵点D 是BC 边的三等分点，

∴11()33AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+

=+-2133AB AC =+. 同理可得，1233AE AB AC =

+， ∴()2221122(3339)3AD AE AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=+⋅+=+

⎪⎝⎭2(99)49=⨯+=. 故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择. 12．B

解析：B

【分析】

利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b

+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】 对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图 a BA CD ==，b BC =，a b BD +=,

23ABC π∠=，3

DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==， a b a b ∴==+，

2222222==222a tb

a tb

a t

b b b b +++，

a b =，

22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb

b b b π++++=， 2

22222222244cos 42312444a t a b t b a t a a t a t t b a π++-+==-+当且仅当1t =时，

22a tb b +的最小值为3 故选：B.

【点睛】 本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b +化成只含有t 为自变量的二

次函数形态，进而求最值.

二、填空题

13．【分析】设点的坐标是求出再利用配方法可得答案【详解】设点的坐标是即因为向量所以当时有最小值此时点的坐标是故答案为：【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1几何法；2三角函数有界法；3二次函 解析：5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭

【分析】

设M 点的坐标是(),0t ，求出AM BM ⋅，再利用配方法可得答案.

【详解】

设M 点的坐标是(),0t ，即(),0OM t =，

因为向量()3,2OA =，()2,1OB =，

所以()3,2AM OM OA t =-=--，

()2,1BM OM OB t =-=--，

()()()()3221AM BM t t ⋅=--+-⨯-

22575824

t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 当52t =时，AM BM ⋅有最小值74，此时M 点的坐标是5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭

， 故答案为：5

,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.

【点睛】

方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.

14．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B 解析：1

【分析】

如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.

【详解】

取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示

由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -，

如图以BC 为直径的半圆方程为：22

1(0)x y y +=≤，

设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈， 则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-， 因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩， 整理可得113cos 226131cos 262μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 所以1

31113322(cos )cos sin()222226

πλμθθθθθ+=-++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+

∈， 当1366π

πθ+=时，sin()6

πθ+取最大值12， 所以2λμ+的最小值为

31122-=， 故答案为：1

【点睛】

解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

15．【分析】建立如图所示的坐标系则设则所以从而结合可得对任意恒成立则必然成立可得而从而可求得结果【详解】解：以线段的中点为原点以所在的直线为轴以其中垂线为轴建立直角坐标系则设则所以因为所以化简得由于上述 解析：9-

【分析】

建立如图所示的坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则

(5,),(10,0)AP x y AB =+=，所以2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，从而

2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，结合28AP AB λ-≥，可得

222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++≥，对任意R λ∈恒成立，则0∆≤必然成立，可得4y ≥，而2225PA PB x y ⋅=+-216259x ≥+-≥-，从而可求得结果

【详解】

解：以线段AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以其中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,),(10,0)AP x y AB =+=， 所以2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，

因为28AP AB λ-≥，所以22(21010)4x y λ+-+≥，

化简得222

100(20040)4404360x x x y λλ-+++++≥，

由于上述不等式对任意R λ∈恒成立，则0∆≤必然成立， 222(20040)4100(440436)0x x x y ∆=+-⨯⨯+++≤， 解得4y ≥，所以4y ≥或4y ≤-，

因为(5,),(5,)PA x y PB x y =---=--，

所以2225PA PB x y ⋅=+-，

因为x ∈R ，2

16y ≥，

所以2222516259x y x +-≥+-≥-，

即9PA PB ⋅≥-，

所以PA PB ⋅的最小值为9-，

故答案为：9-

【点睛】

此题考查向量的数量积运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题 16．6【分析】先建立平面直角坐标系再表示出点的坐标接着表示出最后求求得最大值即可【详解】解：以点为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向建立平面直角坐标系如图则由图可知以为直径的圆的方程为：参数方向：因为 解析：6

【分析】

先建立平面直角坐标系，再表示出点E 的坐标，接着表示出AD ，AE ，最后求AD AE ⋅求得最大值即可.

【详解】

解：以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，以AD 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，则(0,0)A ，(0,2)D

由图可知以CD 为直径的圆的方程为：22

(1)(2)1x y -+-=，参数方向：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩

， 因为E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，所以(1cos ,2sin )E θθ++，（0θπ≤≤）， 所以(0,2)AD =，(1cos ,2sin )AE θθ=++，

则0(1cos )2(2sin )42sin AD AE θθθ⋅=⨯+++=+， 当2π

θ=时，AD AE ⋅取得最大值6.

故答案为：6

【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标表示，是基础题

17．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积 解析：6

【分析】

建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.

【详解】

如图所示建立平面直角坐标系：

则()()()()04,00,40,44A B C D ，

，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--， 因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩

，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ， 所以()()3,1,3,3PA PB =-=--，

所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=，

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．【分析】设设则由得到再利用得到再设得到根据可解得结果【详解】因为

所以可设设则由得所以由得化简得所以所以由得所以设则所以所以由得解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算考查了

解析：1]

【分析】

设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠，设(,)c x y =，则221x y +=，由

22150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，得到00152x x x =-，00

152y y y =-，再利用

221x y +=，得到22220000

2200225()604x y x y x y +++-=，再设2200x y t +=，得到22

20

225()24t t t x t -=--，根据222504t t t -≥-，可解得结果. 【详解】

因为a b ⊥，所以可设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠，

设(,)c x y =，则221x y +=，

由2

2150a a c -⋅-=，得200215x x x -=，所以00152x x x =-， 由||||a c b c -=-

=200215y y y -=，所以00

152y y y =-， 所以由221x y +=，得2200001515()()4x y x y -

+-=， 所以22220000

2200225()604x y x y x y +++-=， 设2

200x y t +=(0)t >，则2200225()t t x t x +=-，所以42002250t x tx t

-+=-， 所以22

20

225()24t t t x t -=--， 由222504t t t

-≥-，得29000t t -+≤

，解得3232t -≤≤+

所以221)1)t ≤≤，

11

t ≤≤，

所以00|||(,)|1a b x y ⎤+===⎦，

故答案为：1].

【点睛】

本题考查了向量的数量积的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于中档题.

19．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题 解析：9

【分析】

根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案.

【详解】

解：根据题意，如图建立直角坐标系，

∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ，

∴ ()4,3AB =-，

()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，

∴ ()

()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈

∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.

故答案为：9 .

【点睛】 本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题. 20．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：52

【分析】

根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，

4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()

a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可.

【详解】

因为0a b c d +++=，

所以++=-a b c d ， 所以()()22++=-a b c d ，

所以()()()()2222

222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ， 因为2a =，3b =，4c =，4d =，

所以132

⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=

a b a c b c b . 故答案为：

52 【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题

21．（1）

2；（2）19. 【分析】

（1）由于()

12AD AB AC =+，进而根据向量的模的计算求解即可； （2）由于3144BM AB AC =-+，()

12AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278

BM AD ⋅=，故57cos 19BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】

解:（1）由已知，236cos 93AB AC π⋅=⨯=-， 又()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+()12791834=-+=，

所以332

AD =. （2）由（1）知，()131444BM AM AB AB AC AB AB AC =-=

+-=-+， 所以()293117199361681616BM =⨯-⨯-+⨯=，从而3194

BM =. ()

311442BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，

所以27cos

8BM AD

BM AD θ⋅=== 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，

则()0,0A ，()3,0B ，(C -，

因为D 为边BC 的中点，所以D ⎛ ⎝⎭，

0,2AD ⎛= ⎝

⎭，所以332AD =.

（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，0,4M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，

所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭

，

所以91BM ==，278BM AD ⋅=，

所以27cos

819BM AD BM AD θ⋅=

==. 【点睛】

本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()12AD AB AC =+，进而根据向量模的计算公式计算.

22．（1）6；（2）58,99

m n =

=；（3）1118k =-. 【分析】

（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；

（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即

得结果；

（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.

【详解】

解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-= ∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=； （2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，

a m

b n

c =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，

故4322

n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==； （3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，

(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，

()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，

解得1118

k =-

. 【点睛】

结论点睛：

若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.

23．（1）6x π

=；（2）23

x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.

【分析】

（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan 3x =

，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛

⎫=- ⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π

-的范围，结合正弦

函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.

【详解】

解:（1）因为a b ⊥，

所以sin co 30s b x x a =-=⋅，

于是sin tan s co x x x == 又[]0,x π∈，所以6x π

=；

（2）()())

sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-

cos x x =-

2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝

⎭. 因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦

， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝

⎭ 于是，当62x ππ-

=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x π

π

-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.

【点睛】

本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.

24．（Ⅰ)(2,1)AB =-，5AB =Ⅱ)3t =

【分析】

（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出

2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．

【详解】

（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =- ∴2||25AB ==

（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+.

∵()tOC OB

AB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t =

【点睛】

考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系．

25．（1）2）

6π. 【分析】

（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求

（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423

a a

b a a b a a b θ++==+⨯可求θ 【详解】

解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒ ∴1

||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=- ∴

222||()21a b a b a a b b +=+=++=+-

（2）设a 与a b +的夹角θ 则2()13cos 2||||42383

a a

b a a b a a b θ++-====+⨯ 0θπ

∴6π

θ=.

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题 26．（1）53

-

；（2）12-. 【分析】

（1）求出()3,12n k k =--+，解方程(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=即得解；

（2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，解方程(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+即得解.

【详解】

（1）由已知得()3,12n a kb k k =-=--+， ()27,4a b -=-，

所以()20n a b ⊥-=，

即(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=，

解得53

k =-； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，

因为()//n kb c +，

所以(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+，

解得12

k =-

. 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些