初中几何证明中的几种解答技巧

一．角平分线－－轴对称

1．已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分，于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．

分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF的中位线．∴．

2．已知在ΔABC中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．

分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：，，．

∴，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．

3．已知在ΔABC中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．

分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD≌ΔEBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，

．由已知可得：，．由∵ＢＦ＝ＢＤ，

∴．由三角形外角性质可得：．∴ＣＦ＝ＤＦ．

∵，∴，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，

∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．

4．已知在ΔABC中，，，ＡＦ平分，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ    ，交ＡＢ于Ｄ．求　证：ＡＣ＝ＡＤ．

分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．

易证ΔAGF≌ΔAEF．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证ΔGFC≌ΔEFD．∴ＧＣ＝ＥＤ．

∴ＡＣ＝ＡＤ．

5．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．

（1）求证：

（2）若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是的内角平分线（如图（２））；

 ＢＤ是ΔABC的内角平分线，ＣＥ是ΔABC的外角平分线（如图（３））．

则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

　　　　图（１）　　　　　　　　图（２）　　　　　　　　　图（３）

分析：图（１）中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH的中位线．∴．

同理可得图（２）中；图（３）中

6．如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．

分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD≌ΔAND．

∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．

7．如图，在ΔABC中，，ＡＤ平分．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．

分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD≌ΔAED．∴ＢＤ＝ＤＥ．

∴．又∵，∴．

∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．

8．在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且．求的度数．

分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ．

∴．∴有ΔCBF≌ΔCDA（ＳＡＳ）．∴．

∴．

二．旋转

1．如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．

求证：．

分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转得．∴．易证ΔAGE≌ΔAFE．

∴ 

２如图，在中，，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．

分析：连接ＢＤ．则可视为绕Ｄ顺时针旋转所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与

ＢＤ＝ＣＤ．则．又易证．∴ΔBDE≌ΔCDF．∴ＤＥ＝ＤＦ．

3．如图，点Ｅ在ΔABC外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若，

ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE．

分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转所得．则有．

∵，且．∴．又∵．

∴．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE．

4．如图，ΔABC与ΔEDC均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．

分析：将RtΔBCD视为RtΔACE绕Ｃ顺时针旋转即可．

5．如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．

分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转即可．

∵．∴．

又∵，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．

三．平移

1．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１５．求梯形ＡＢＣＤ的中位线长．

分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．

2．已知在ΔABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线一点，且ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＤＭ＝ＥＭ．

分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．

∴四边形ＤＣＥＦ为．∴ＤＭ＝ＥＭ．

四．中点的联想

（一）倍长

1．已知，ＡＤ为的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．

分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE≌ΔCDA．

∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．

2．如图，ＡＤ为ΔABC的角平分线且ＢＤ＝ＣＤ．求证：ＡＢ＝ＡＣ．

分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ．

∵．∴．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．

3．已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．

分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD≌ΔBCE．

∴．∴．

易证ΔBPQ≌ΔBFQ．得ＢＰ＝ＢＦ，又．∴ΔBPF为等边三角形．

∴ＢＰ＝２ＰＱ．

（二）中位线

1．已知在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ和Ｆ分别为ＢＤ与ＡＣ的中点．

求证：．

分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD中位线，ＦＧ为ΔACD的中位线．

∴ＥＧ∥＝，ＦＧ∥＝．∵ＡＤ∥ＢＣ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴．

（三）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

1．已知，在中．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．

求证：ＥＦ＝ＥＧ．

分析：连接ＢE．∵，ＡＥ＝ＯＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．

∴．又ＥＦ为ΔAOD的中位线．∴．∴ＥＦ＝ＥＧ．

2．在ΔABC中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．

求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）．

分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴RtΔCDG≌RtΔEDG（ＨＬ）．

∴ＥＧ＝ＣＧ．

（2）∵ＤＥ＝ＢＥ．∴．

∵ＤＥ＝ＣＤ．∴．∴．

3．已知：在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，．Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是ＯＡ、ＯＢ、ＣＤ的中点．求证：ΔEFG是等边三角形．

分析：连接ＥＤ、ＦＣ．易证ΔAOD与ΔBOC均为正三角形．由已知可得．

在RtΔCDE与RtΔCDF中，有．∴ＥＦ＝ＥＧ＝ＦＧ．即是等边三角形．

六．等面积法

1．已知在ΔABC中，，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ．ＡＢ＝８，ＡＣ＝１５．

求ＡＤ的长．

分析：．

2．已知Ｐ为矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ上的动点（Ｐ不与Ａ或Ｄ重合）．ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ．，．问：ＰＥ＋ＰＦ的值是否为一定值？若是，求出此值并证明；若不是，说明理由．

分析：连接ＰＢ、ＰＣ．易得．

∴．又，．

∴．

3．已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＤＥ＝ＦＧ，ＧＰ⊥ＤＥ于Ｐ，ＤＱ⊥ＦＧ于Ｑ．

求证：Ｔ在的平分线上．

分析：连接ＥＧ、ＦＤ及ＯＴ．∵及．又∵ＤＥ＝ＦＧ，∴ＰＧ＝ＱＤ．

易证RTΔPGD≌RtΔQDG（ＨＬ）．∴，ＰＤ＝ＱＧ，．

∴RtΔPDT≌RtΔQGT（ＡＳＡ）．∴ＰＴ＝ＱＴ．

即Ｔ在的平分线上．