高中数列经典习题(含答案)

(1)70≤n≤200;(2)n能被7整除.

翰林汇

2、设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12, S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；

(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.

翰林汇

3、数列{}是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为,求的最大值;(3)当是正数时,求n的最大值.

翰林汇

4、设数列{}的前n项和.已知首项a1=3,且+=2,试求此数列的通项公式及前n项和.

5、已知数列{}的前n项和n(n＋1)(n＋2),试求数列{}的前n项和.

6、已知数列{}是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设=0(i=1,2,3,…)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;

(2)设这些方程的另一个根为,求证,,,…, ,…也成等差数列.

7、如果数列{}中,相邻两项和是二次方程=0(n=1,2,3…)的两个根,当a1=2时,试求c100的值.

翰林汇8、有两个无穷的等比数列{}和{},它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有,试求这两个数列的首项和公比.

翰林汇9、有两个各项都是正数的数列{},{}.如果a1=1,b1=2,a2=3.且,,成等差数列, ,,成等比数列,试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log2xn}的第m项等于n，第n项等于m(其中mn)，求数列{xn}的前m＋n项的和。

11、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10．

12、已知等差数列{an}的前项和为Sn，且S13＞S6＞S14,a2=24．

(1)求公差d的取值范围；（2）问数列{Sn}是否成存在最大项，若存在求,出最大时的n，若不存在,请说明理由．

13、设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项的为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比．

14、设正项数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有正整数n，t与an的等差中项和t与Sn的等比中项相等，求证数列{}为等差数列，并求{an}通项公式及前n项和．

15、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列，且

①求的值；

②求数列前项和.

16、 若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．

答案：

1、 解： a1=－250, d=2, an=－250+2(n－1)=2n－252

同时满足70≤n≤200, n能被7整除的an构成一个新的等差数列{bn}.

b1=a70=－112, b2=a77=－98,…, bn′=a196=140

其公差d′=－98－(－112)=14. 由140=－112+(n′－1)14, 解得n′=19

∴{bn}的前19项之和.

2、解： (Ⅰ)依题意,有 

，即

由a3=12,得  a1=12－

将(3)式分别代入(1),(2)式,得  ，∴.

(Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.

因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.

由于  S12=6(a6+a7)＞0,  S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0.

由此得  a6＞－a7＞0.因为a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.

3、 (1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大, S6=8.(3)由a1=23,d=－4,则=n(50－4n),设＞0，得n＜12.5,整数n的最大值为12.

4、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6. 由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1)  Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)

(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1

即 an+2=3an+1

此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=

此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n – 1=3＋=3n.

5、=－=n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当n=1时，a1=2,S1=×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a1= S1.则＝n(n＋1)是此数列的通项公式。∴＝1－＝.

6、 (1)设公共根为p,则①②则②-① ,得dp2+2dp+d=0,d≠0为公差,∴(p＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为－1).(2)另一个根为,则＋(－1)=.∴+1= 即,易于证明{}是以－为公差的等差数列.

7、解由根与系数关系, ＋=－3n,则(＋)－(＋)=－3,即－=－3.∴a1,a3,a5…和a2,a4,a6…都是公差为－3的等差数列,由a1=2,a1+a2=－3,∴a2=－5.则=－3k－2,∴a100=－152, =－3k＋5,∴a101=－148,∴c100= a100 a101=22496

8、设首项分别为a和b,公比q和r. 则有.依据题设条件,有=1,① =2,② ,③ 由上面的①,②,③ 可得(1－q)2=2(1－r).令n=1,有(1－q)2=2(1－r),④设n=2.则有(1－q)2q2=2(1－r)r,⑤ 由④和⑤,可得q2=r,代入④ 得(1－q)2=2(1－q2).由于q≠1,∴有q=,r =.因此可得a=1－q=,b=2(1－r)=.

∴和经检验,满足的要求.

9、依据题设条件,有由此可得=.∵＞0,则2。∴{}是等差数列.∴=.

又  =,∴=

10、2m+n-1

翰林汇11、解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则：

解得：

∴

12、解：(1)由题意：∴

  （2）由（1）知，a10＞0,a10+a11＜0,∴a10＞0＞a11，又公差小于零，数列{an}递减，

所以{an}的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。

∴n=10时，Sn最大。

13、解：设该等比数列为{an}，且公比为q

若q=1，则Sn=na1,S2n=2na1,与题意不符，故q≠1。

两式相除，得1+qn=82，qn=81，∴

q=a1+1＞1，数列{an}为递增数列，前n项中最大的项为an=a1qn-1=

解得：a1=2,q=3

14、证明：由题意：即

 当n=1时， 

当n≥2时，

。

因为{an}为正项数列，故Sn递增，不能对正整数n恒成立，

∴即数列{}为等差数列。公差为

，

所以数列{}为等差数列，{an}通项公式为an=(2n-1)t及前n项和Sn=tn2。

15、①3②

16、设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有

整理，得

∴b＋d=2b－2d  即b=3d

代入①，得

9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)

9d2=(2d＋1)·4d

解之，得d=4或d=0(舍)  ∴b=12