二项式定理练习题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在的展开式中，的系数为            （    ）

    A．         B．         C．         D．

2． 已知， 的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于                （    ）

    A．4          B．9          C．10              D．11

3．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是    （    ）

A．10            B．11               C．12             D．13

4．5310被8除的余数是                （    ）

    A．1    B．2    C．3    D．7

5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是        （    ）

A．1.23              B．1.24           C．1.33          D．1.34

6．二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是　　　            （    ）

 A．1           B．2         C．3            D．4

7．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是                （    ）

A．     B．1          C．2           D．3

8．在的展开式中的系数为            （    ）

A．4       B．5       C．6       D．7 

9．展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是

                    （    ）

      A．330       B．462       C．680       D．790

10．的展开式中，的系数为        （    ）

 A．－40       B．10        C．40        D．45

11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在[0，2π]内的值为            （    ）

    A．或            B．或    

C．或           D．或

12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n－5的    （    ）

A．第2项       B．第11项         C．第20项          D．第24项

二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.

13．展开式中的系数是             .

14．若，则的值为__________.

15．若 的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是             . 

16．对于二项式(1-x)，有下列四个命题：

    ①展开式中T= －Cx；

    ②展开式中非常数项的系数和是1；

    ③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；

    ④当x=2000时，(1-x)除以2000的余数是1．

    其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题：本大题满分74分.

17．（12分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．

（1）求n的值；

（２）此展开式中是否有常数项，为什么？

18．（12分）已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．

19．（12分）是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？

21. （12分）设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.

22．（14分）规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．

(1) 求的值；

(2) 设x>０，当x为何值时，取得最小值？

(3) 组合数的两个性质；

①.　　②.

    是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.

参

一、选择题

1．D  2．A  3．C  4．A  5．D  6．C  7．B  8．C  9．B  10．D  11．B  12．C

3．解：，．

5．解：(1.05)6 =

 =1+0.3+0.0375+0.0025+…1.34．

6．解：，r=0,1,…,8. 设，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).

7．解：由得，n=4,, 取r=4.

8．解：设=的展开式的通项为 则(r=0,1,2,…,6). 二项式展开式的通项为

(n=0,1,2,…,r)

的展开式的通项公式为

令r+n=5,则n=5-rr=3,4,5,n=2,1,0.

展开式中含项的系数为: 

9．解：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x =1 即得所有项系数之和，各项的系数为二项式系数，故系统最大值为或，为462．

10．解：=

==

的系数为

二、填空题

13．；  14．1；   15．=210；   16．①④．

三、解答题

 17．解：（１）n = 7  （6分）（２）无常数项（6分）

 18．解：由(3 分)得（5分），得．（8分），该项的系数最大，为．（12分）

19．解：假设存在等差数列满足要求（2分）（4分）=（8分）

   依题意，对恒成立，（10分）, 所求的等差数列存在，其通项公式为．（12分）

20．解：设耕地平均每年减少x亩，现有人口为p人，粮食单产为m吨/亩，（2分）依题意

（6分）

化简：（8分）

（10分）

（亩）

答：耕地平均每年至多只能减少4亩．（12分）

21．解：展开式中，关于x的一次项系数为（3分）关于x的二次项系数为，（8分）当n=5或6时，含x2项的系数取最小值25，此时m=6,n=5或 m=5,n=6. （12分）

22．解：(1) . （4分）

(2)  . （6分）      ∵　x > 0 ,  .

当且仅当时，等号成立.  ∴　当时，取得最小值. （8分）

（3）性质①不能推广，例如当时，有定义，但无意义; （10分）

  性质②能推广，它的推广形式是，x R , m是正整数. （12分）

事实上，当m＝１时，有.

　当m≥２时.

　   ．（14分）