-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考数学专题：导数大题专练
1. 已知函数()()()2
21x f x x e a x =-+-有两个零点.
(I)求a 的取值范围；
(II)设12x x ，是()f x 的两个零点，证明：12 2.x x +<
2. (I)讨论函数2()2x x f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x
-->（） 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
3. 设设函数()()()cos21cos +1f x x x αα=+-，其中0α>，记()f x 的最大值为A . （Ⅰ）求'f x （）
； （Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明()'2f x A ≤.
4. 设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为()14y e x =-+， （I ）求,a b 的值；
(I I) 求()f x 的单调区间。
5. 已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.
（1） 设122
a b ==，. ① 求方程()=2f x 的根;
②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；
（2）若01,1a b <<＞
，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.
6. 已知()221()ln ,x f x a x x a R x
-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当1a =时，证明()3()'2
f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立
7. 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x
=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；
（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；
（3）设0a >，若对任意1[,1]2
t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.
8. 设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R .
（I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()x f x e x
->
-在区间1+∞（，）内恒成立(e 2.718=⋯为自然对数的底数)。
9. 设函数b ax x x f ---=3)1()(，∈x R ，其中a ，∈b R .
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ；
（Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．41
10. 设3a ≥，函数2()min{2|1|,242}F x x x ax a =--+-,
其中{},min ,,p p q p q q p q ≤⎧=⎨>⎩
（Ⅰ）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围 （Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a
（ii ）求()F x 在[0,6]上的最大值()M a
答案
1. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+．
（i ）设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点． （ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．
又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln 2
a b <，则 223()(2)(1)()022
a f
b b a b a b b >-+-=->， 故()f x 存在两个零点．
（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2
e a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0
f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 若2
e a <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0
f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．
综上，a 的取值范围为(0,)+∞．
（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．
设2()(2)x x g x xe x e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．
所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．
2. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)2
1(,].24
e . 【解析】
试题分析：(Ⅰ)先求定义域，用导数法求函数的单调性，当(0,)x ∈+∞时，()(0)f x f >证明结论；
(Ⅱ)用导数法求函数()g x 的最值，在构造新函数00h()2
x e a x =+，又用导数法求解. 试题解析：(Ⅰ)()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.
222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)
x x x
x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=-
所以(2)(2),(2)20x x x e x x e x ->-+-++> (II)32(2)(2)2'()(()),x x e a x x g x f x a x x
-+++==+ 由(I)知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =， 当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；
当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.
因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为
000000022000(1)+()(1)().2
x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是00h()2
x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得0022
01().2022224
x e e e e h a x =<=≤=+++ 因为2x e x +单调递增，对任意2
1(,],24
e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a
f x =-∈ 使得(),h a λ=所以()h a 的值域是2
1(,],24
e
综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是2
1(,].24e 考点： 函数的单调性、极值与最值.
3. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x x x αα=---．
（Ⅱ）当1α≥时，学科&网
'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x x x αα=+-+2(1)αα≤+-32α=-(0)f = 因此，32A α=-． ………4分
当01α<<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x x x αα=+--． 令2()2(1)1g t t t αα=+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g α-=，(1)32g α=-，且当
14t αα
-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488g ααααααα--++=--=-． 令1114αα--<<，解得13α<-（舍去），15
α>． （ⅰ）当105α<≤
时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g α-=，|(1)|23g α=-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A α=-． （ⅱ）当115α<<时，由(1)(1)2(1)0g g α--=->，知1(1)(1)()4g g g αα
-->>． 又1(1)(17)|()||(1)|048g g ααααα
--+--=>，所以2161|()|48A g ααααα-++==． 综上，2123,05611,18532,1A αααααααα⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x x x αααα=---≤+-. 当105
α<≤时，'|()|1242(23)2f x A ααα≤+≤-<-=. 当115α<<时，131884
A αα=++≥，所以'|()|12f x A α≤+<.
当1α≥时，'|()|312f x A αα≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤.
4. （共13分）
解：（Ⅰ）因为bx xe x f x a +=-)(，所以b e x x f x a +-='-)1()(.
依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,1,
22222
2e b e e b e a a 解得e b a ==,2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ex xe x f x +=-2)(.
由)1()(12--+-='x x e x e x f 即02>-x e 知，)(x f '与11-+-x e x 同号. 令11)(-+-=x e x x g ，则11)(-+-='x e x g .
所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .
综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.
5. 解：（1）因为1
2,2
a b ==
，所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=， 所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =.
②由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-. 因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，
所以2(())4
()
f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.
而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且
2((0))44(0)f f +=，
所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.
（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.
因为'()ln ln x x g x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a
a
x b
=-
. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+，
从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数， 于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <
<，于是0()(0)02
x
g g <=， 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=，且函数()g x 在以0
2
x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在
2
x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又0
02
x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02
x
和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.
因此，00x =. 于是ln 1ln a
b
-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =.
6. （Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；
3
232/
)
1)(2(22)(x x ax x x x a a x f --=+--=.
当0≤a ， )1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；
/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.
当0>a 时，/3(1)()(a x f x x x x -=
+. （1）20<12 >a ， 当)1,0(∈x 或x ∈),2 ( +∞a 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)2 , 1(a 时，0)(/ =a ，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a 时，12 0<< a ， 当)2 , 0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2 (a 时，0)(/ 内单调递增； 当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增； 当2>a ，)(x f 在)2, 0(a 内单调递增，在)1,2 (a 内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时， /22321122 ()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+ ---+ 23312 ln 1x x x x x =-++--，]2,1[∈x ， 令12 13)(,ln )(32--+= -=x x x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则)()()()(/x h x g x f x f +=-， 由01 )(/≥-= x x x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24 326 '()x x h x x --+=， 设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减， 因为10)2(,1)1(-==ϕϕ， 所以在0x ∃∈]2,1[上使得),1(0x x ∈ 时，)2,(,0)(0x x x ∈>ϕ时，0)( 当且仅当2=x 取得等号， 所以2 3 )2()1()()(/= +>-h g x f x f ， 即2 3 )()(/+ >x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立。 考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想. 7. 解：（1）由21log 50x ⎛⎫ +> ⎪⎝⎭，得151x +>， 解得()1,0,4x ⎛ ⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎝ ⎭． （2）()1 425a a x a x +=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． 当3a ≠且4a ≠时，11 4 x a = -，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当 1 1 0a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当 2 1 0a x +>，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈． 综上，a 的取值范围为(] {}1,23,4． （3）当120x x <<时，1211 a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减． 函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +． ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫ -+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意 1,12t ⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦ 成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得2 3a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫ +∞⎪⎢⎣⎭ ． 8. （I ）2121 '()20).ax f x ax x x x -=-= >( 0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，） 内单调递减. 0a >当时，由'()f x =0 ，有x = 此时，当x ∈ （时，'()f x <0，()f x 单调递减； 当x ∈ +)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增. （II ）令()g x =111 e x x --，()s x =1e x x --. 则'()s x =1e 1x --. 而当1x >时，'()s x >0， 所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增. 又由(1)s =0，有()s x >0， 从而当1x >时，()f x >0. 当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<. 故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当1 2a << >1. 由（I ）有(1)0 f f <=,从而0 g >， 所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. 当1 2 a 时，令()() ()(1)h x f x g x x ， 当1x 时，3 2 12 22 2 111112121()2e 0x x x x x h x ax x x x x x x x x ， 因此，()h x 在区间(1,)单调递增. 又因为(1)=0h ，所以当1x 时，()() () 0h x f x g x ，即 () ()f x g x 恒成立. 综上，1[,)2 a 9. 试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分 类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3 )1(20a x = -，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单 调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，||,|(|33f f -的大 小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331a a +≤<≤- ，②当3 34 a ≤<时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤- ，③当3 04
Copyright © 2019-2025 51dongshi.net 版权所有
违法及侵权请联系：TEL:177 7030 7066 E-MAIL:11247931@qq.com 本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务
