2013年高考北京卷文科数学试题及答案

 文科数学

（北京卷）

第一部分

一、选择题

1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于(　　)．

A．{0}                  B．{－1,0}

C．{0,1}              D．{－1,0,1}

答案　B

解析　∵－1,0∈B,1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．

2．设a，b，c∈R，且a>b，则(　　)．

A．ac>bc          B.<          C．a2>b2          D．a3>b3

答案　D

解析　当a>b时，a3>b3成立．A中对c＝0不成立．B项取a＝1，b＝－1，则<不成立；C项取a＝1，b＝－2，则a2>b2不成立．

3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)．

A．y＝                  B．y＝e－x

C．y＝－x2＋1              D．y＝lg |x|

答案　C

解析　A中为奇函数，B中y＝e－x非奇非偶函数．y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递减．

4．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于(　　)．

A．第一象限              B．第二象限

C．第三象限              D．第四象限

答案　A

解析　i(2－i)＝2i＋1对应点(1,2)在第一象限．

5．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B等于(　　)．

A.              B.          C.          D．1

答案　B

解析　由正弦定理，＝，∴sin B＝sin A＝×＝.

6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)．

A．1          B.          C.          D.

答案　C

解析　执行一次循环后S＝，i＝1，执行第二次循环后，S＝，i＝2≥2，退出循环体，输出S的值为.

7．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)．

A．m>              B．m≥1

C．m>1                 D．m>2

答案　C

解析　由x2－＝1知，a＝1，b＝，∴c2＝a2＋b2＝1＋m，e2＝＝1＋m，由e>，得1＋m>2，∴m>1.

8. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有(　　)．

A．3个          B．4个

C．5个          D．6个

答案　B

解析　设正方体边长为1，不同取值为PA＝PC＝PB1＝，PA1＝PD＝PC1＝1，PB＝，PD1＝共有4个．

第二部分

二、填空题

9．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．

答案　2　x＝－1

解析　y2＝2px的焦点F.

∴p＝2，准线l：x＝－＝－1.

10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为____________________________．

答案　3

解析　由三视图知，四棱锥的高h＝1，底面是边长为3的正方形，∴四棱锥的体积V＝S·h＝×32×1＝3.

11．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.

答案　2　2n＋1－2

解析　设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝＝2n＋1－2.

12．设D为不等式组表示的平面区域．区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．

答案　 

解析　

作不等式组表示的平面区域，如图所示(△OAB及其内部)，易观察知，所求最小值为点P(1,0)到2x－y＝0的距离d＝＝ .

13．函数f(x)＝的值域为________．

答案　(－∞，2)

解析　当x≥1时，logx≤0；当x<1时，0<2x<2，∴f(x)的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝

(－∞，2)．

14．已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足 ＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．

答案　3

解析　设P(x，y)，且＝(2,1)，＝(1,2),

∴＝＋＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)

∴∴

又1≤λ≤2,0≤μ≤1

∴表示的可行域是平行四边形及内部．

可求其面积S＝3.

三、解答题

15．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．

解　(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x

＝cos 2x·sin 2x＋cos 4x

＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin

∴f(x)的最小正周期T＝，最大值为.

(2)由f(α)＝，得sin＝1.

∵α∈，则<4α＋<

所以4α＋＝π，故α＝π.

16．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；

(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)

解　(1)在3月1日至3月13日到达这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良．

∴此人到达当日空气质量优良的概率P＝.

(2)事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”发生，则该人到达日期应在4日，5日，7日或8日．

∴只有一天空气重度污染的概率P＝.

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

17. 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别为CD、PC的中点．求证：

 (1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

证明　(1)平面PAD∩平面ABCD＝AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.

∴PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD

所以BE∥平面PAD.

(3)∵AB⊥AD，且四边形ABCD为平行四边形．

∴BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD

∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD

又E、F分别为CD、CP的中点，

∴EF∥PD，故CD⊥EF.

由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，

∴CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥底面PCD.

18．已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.

(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．

解　(1)由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，

得f′(x)＝x(2＋cos x)

∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．

∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)

则a＝0，b＝f(0)＝1.

(2)令f′(x)＝0，得x＝0.

∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)递增．

当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．

∴f(x)的最小值为f(0)＝1.

由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，

所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．

19．直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A、C两点，O是坐标原点．

(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

(1)解　∵四边形OABC为菱形，

则AC与OB相互垂直平分．

由于O(0,0)，B(0,1)

∴设点A，代入椭圆方程得＋＝1

则t＝±，故|AC|＝2.

(2)证明　假设四边形OABC为菱形，

因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由

消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则

＝－，＝k·＋m＝.

所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，

所以直线OB的斜率为－，

因为k·＝－≠－1，所以AC与OB不垂直．

所以OABC不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．

20．给定数列a1，a2，…，an.对i＝1,2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.

(1)设数列{an}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；

(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列．

(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0.证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．

(1)解　d1＝2，d2＝3，d3＝6.

(2)证明　因为a1>0，公比q>1.

∴数列a1，a2，a3，…，an(n≥4)是递增数列．

因此，对i＝1,2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1，

∴di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1qn－1(1－q)．

因此di≠0，且＝q(i＝1,2，…，n－2)，

故数列d1，d2，…，dn－1是等比数列．

(3)证明　设d为d1，d2，…，dn－1的公差，且d>0，

对于1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0.

∴Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai，

又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.

从而a1，a2，…，an－1是递增数列，

因此Ai＝ai(i＝1,2，…，n－1)．

又因为B1＝A1－d1＝a1－d1所以B1因此an＝B1，所以B1＝B2＝…＝Bn－1＝an.

所以ai＝Ai＝Bi＋di＝an＋di，

因此对于i＝1,2，…，n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d.

故数列a1，a2，a3，…，an－1是等差数列．