2017届高考数学第一轮考点复习题组训练9.doc

一、选择题

1．(2015·安徽)函

数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

A．a>0，b<0，c>0，d>0

B．a>0，b<0，c<0，d>0

C．a<0，b<0，c>0，d>0

D．a>0，b>0，c>0，d<0

2．(2014·陕西)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)

A．y＝x3－x2－x

B．y＝x3＋x2－3x

C．y＝x3－x

D．y＝x3＋x2－2x

3.函数f(x)＝3ln x＋x2－x＋在点(，f())处的切线斜率是(　　)

A．－2     B.     C．2    D．4

4．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是(　　)

A.               B. 

C.             D. 

5.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋，则与f(x)图象相切的斜率最小的切线方程为(　　)

A．2x－y－3＝0         B．x＋y－3＝0

C．x－y－3＝0           D．2x＋y－3＝0

6.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(　　)

A．y＝3x＋1            B．y＝－3x

C．y＝－3x＋1          D．y＝3x－3

7．设函数y＝xsin x＋cos x，且在f(x)图象上点(x0，y0)处的切线的斜率为k，若k＝g(x0)，则函数k＝g(x0)的图象大致为(　　)

8．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是(　　)

A．[－2，2]               B．[，]

C．[，2]                D．[，2]

9．已知函数f(x)＝y＝g(x)为曲线h(x)＝ln x＋a＋1在x＝1处的切线方程，若方程f(x)＝g(x)有两个不同实根，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)             B．(－∞，1]  

C．(0，1)                D．[0，＋∞)

二、选择题

1．(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．

2．(2015·新课标全国Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．

3．(2014·江西)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．

4．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

5．(2014·广东)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．

6．(2014·安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件：

(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.

下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；

②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)3；

③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin x；

④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x；

⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x.

三、解答题

1．(2015·山东)设函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝. 已知曲线y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行．

(1)求a的值；

(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值．

答案

一、选择题

1．A　[由已知f(0)＝d>0，可排除D；其导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c且f′(0)＝c>0，可排除B；又f′(x)＝0有两不等实根，且x1x2＝＞0，所以a＞0，故选A.]

2．A　[法一　由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y＝－x，在(2，0)处的切线方程为y＝3x－6，以此对选项进行检验．A选项，y＝x3－x2－x，显然过两个定点，又y′＝x2－x－1，则y′|x＝0＝－1，y′|x＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.

法二　设该三次函数为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，

由题设有

解得a＝，b＝－，c＝－1，d＝0.

故该函数的解析式为y＝x3－x2－x，选A.

3．C　[∵f′(x)＝＋2x－，∴f′()＝＋2－＝2.]

4．B　[由题意可得f′(x)＝a(x－1)2＋，∵a＞0，∴f′(x)≥.故α∈.]

5．B　[f′(x)＝x2－4x＋3，f′(x)min＝f′(2)＝－1，f(2)＝1，故与f(x)图象相切斜率最小的切线方程为y－1＝－1(x－2)，即x＋y－3＝0.]

6．B　[函数的导数为f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，

若f′(x)为偶函数，则a＝0，

∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3.

∴f′(0)＝－3.

∴在原点处的切线方程为y＝－3x，选B.]

7．A　[y′＝xcos x，k＝g(x0)＝x0cos x0，

由于它是奇函数，排除B，C；

当0＜x＜时，k＞0，排除D，答案为A.]

8．D　[f′(x)＝x2sin θ＋xcos θ，

∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2＝2sin，

∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，

∴≤2sin≤2，

即≤f′(1)≤2，即导数f′(1)的取值范围是[，2]，选D.]

9．A　[h′(x)＝，h′(1)＝1，故切线方程为y－(a＋1)＝(x－1)，即g(x)＝x＋a，方程f(x)＝g(x)有两个不同实根，即y＝f(x)与y＝g(x)图象有两个交点，由题意f(x)＝

n∈N*其图象如右图，g(x)＝x＋a表示与y＝x平行的直线束，由图可得a∈(－∞，1)．]

二、填空题

1．1　[f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.

(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．

将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.]

2．8　[由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.]

3．(e，e)　[由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，则点P的坐标为(e，e)．]

4．－3　[由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a＋　(1)．又y′＝2ax－，所以在点P处的切线斜率4a－＝－　(2)．由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.]

5．5x＋y＋2＝0　[由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]

6．①③④　[对于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cos x，y′|x＝0＝1，在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C：y＝sin x在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝，y′|x＝0＝＝1，在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C：y＝tan x在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，④正确；对于⑤，y′＝，y′|x＝1＝1，在点P(1，0)处的切线为l：y＝x－1，令h(x)＝x－1－ln x(x＞0)，可得h′(x)＝1－＝，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，可知曲线C：y＝ln x在点P(1，0)附近位于直线l的下侧，⑤错误．]

三、解答题

1．解　(1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，又f′(x)＝ln x＋＋1，所以a＝1.

(2)k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根．

设h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－，

当x∈(0，1]时，h(x)＜0.

又h(2)＝3ln 2－＝ln 8－＞1－1＝0，

所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.

因为h′(x)＝ln x＋＋1＋，

所以当x∈(1，2)时，h′(x)＞1－＞0，

当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0，

所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增，

所以k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根．

(3)由(2)知方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0.

且x∈(0，x0)时，f(x)＜g(x)，

x∈(x0，＋∞)时，f(x)＞g(x)，

所以m(x)＝

当x∈(0，x0)时，若x∈(0，1]，m(x)≤0；

若x∈(1，x0)，由m′(x)＝ln x＋＋1＞0，

可知0＜m(x)≤m(x0)；故m(x)≤m(x0)．

当x∈(x0，＋∞)时，由m′(x)＝，

可得x∈(x0，2)时，m′(x)＞0，m(x)单调递增；

x∈(2，＋∞)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减；

可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0)＜m(2)．

综上可得，函数m(x)的最大值为.