2015年全国高中数赛模拟试题01

第一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分.

1.设，，，则______.

2. 设，．若的非空子集个数为1，

则实数的取值范围是                  ．

3.设是满足的点构成的区域，则区域的面积为_______.（其中表示不超过实数的最大整数）.

4.二元函数的最大值为___   

5. 已知是双曲线上靠近点的一个顶点．若以点为圆心，长为半径的圆与双曲线交于3个点，则的取值范围是              ．

6.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为，第偶数局，乙赢的概率为.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为________.

7.设五边形满足，则的最小值为        

8.过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面所成的角为.这样的截面共可作出           个 .

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）.试求实数的取值范围，使得是不等式的最小整数解.

10.（本小题满分20分）、数列定义为，，.

⑴ 求证：数列为整数列；⑵ 求证： 是完全平方数.

11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x2上不同的两点,点P处的切线分别交x,y轴于Q,R.

(1)若,求的值;(2)若,求ΔPSR面积的最小值.

2015年全国高中数赛模拟试题01

加试

一、（本小题满分40分）一、如图，设为的一个交点，直线切分别于，为的外心，关于的对称点为，为的中点.

求证：.

    二、（本小题满分40分）设.证明:对任意m∈N*,存在n∈N*,使得[Sn]=m.

三、（本小题满分50分）试求所有的正整数，使得存在正整数数列，使得和互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.

四、（本小题满分50分）集合是由空间内2014个点构成，满足任意四点不共面.正整数满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个的非负整数，使得由中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.

试求的最小值.

2015年全国高中数赛模拟试题01

第一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分.

1.设，，，则______.

解：.注意到，，

.故.

2. 设，．若的非空子集个数为1，

则实数的取值范围是                  ．

解：由已知得恰含一个元素．设，分以下情况讨论：

（1）若，则，但是当时，的零点，故应舍去，而经验证满足条件；

（2）若，则根据二次函数图像性质，必有，即，解得或，但应舍去，而经验证满足条件．

综上所述，有．

3.设是满足的点构成的区域，则区域的面积为_______.（其中表示不超过实数的最大整数）.

解：.一方面，当时，有，则，满足；另一方面，当时，有，而，则，从而，于是，这与条件矛盾.故区域的面积为.

4.二元函数的最大值为___.

解：.设，，则.由，，，同理，

，故.当，或或时，取到最大值.

5. 已知是双曲线上靠近点的一个顶点．若以点为圆心，长为半径的圆与双曲线交于3个点，则的取值范围是              ．

解：双曲线的标准方程为，其顶点为，，再由

得：，即．

圆与双曲线交点的纵坐标y应满足上述方程，并要求，因此当交点有3个时，应使对应一个交点，而对应两个交点，从而．

6.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为，第偶数局，乙赢的概率为.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为________.

解：.设游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为，则，解得.

7.设五边形满足，则的最小值为        

解：延长与相交于点,延长与相交于点,延长与相交于点.

则均为正三角形.设, ,.容易得到四边形为平行四边形,则.在中,由余弦定理, ,于是.

同理,.故.

注意到,.有.

等号当且仅当成立故最小值为.

8.过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面所成的角为.这样的截面共可作出           个 .

答案：18.设正中心为，以为圆心，为半径作圆.则圆在的内部，且所求截面与平面的交线是该圆的切线.有三种情况：(1) 切线与的一边平行时，有6个这样的截面；

(2) 切线（其中在边上，在边上）且，则截面为等腰三角形.这样的截面有6个；(3) 作切圆，交于，由，有，对应是等腰三角形，这样的截面共有6个.故满足条件的截面共有18个.

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）.试求实数的取值范围，使得是不等式的最小整数解.

解：首先，，且.原不等式等价于.

（1）当，即时，有，整理有.

解得，（舍去）.从而.注意到当时，.

故要使是不等式的最小整数解，有，解得，于是.

（2）当，即时，注意到，有不合题设条件.

即不满足条件.综上所述，的取值范围为.

10.（本小题满分20分）、数列定义为，，.

⑴ 求证：数列为整数列；⑵ 求证： 是完全平方数.

证明：⑴ 定义.当时，，，两式相减，整理得：，即.

因此.故.（）

由此二阶递推式及，，容易得到数列为整数列.

⑵ 对， 

.因此.故命题得证！

11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x2上不同的两点,点P处的切线分别交x,y轴于Q,R.

(1)若,求的值;(2)若,求ΔPSR面积的最小值.

解: (1)设过P(x1,y1),则P处的切线2x1x=y1+y, Q(),

.

(2)设S(x2,y2),则

, ,

所以,令S=则S/=>0

所以,当时,.

加试

一、（本小题满分40分）一、如图，设为的一个交点，直线切分别于，为的外心，关于的对称点为，为的中点.求证：.

证明：易得是的中垂线，是的中垂线.连接.

则，，

故.同理，.

做的外接圆，设交于另一点，

则，，

故.从而，，

因此，

由托勒密定理，，所以，从而与重合.再由，知道.

所以，.故.

   二、（本小题满分40分）设.证明:对任意m∈N*,存在n∈N*,使得[Sn]=m.

证明:当m=1时,[S1]=1;当m=2时,[S4]=2;当m≥3时,对满足0≤a和正整数k>N0,若都,则.但k>N0时,矛盾!.故对任意正整数m>总存在正整数n,使得n>N0时有

.所以[Sn]=m.

三、（本小题满分50分）试求所有的正整数，使得存在正整数数列，使得和互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.

解：所求的为，其中为正整数.我们用表示中模4余的个数，.注意到，若满足题设条件，则也满足题设条件，故可不妨设.

记，考察模4不同类中的项数，有            ……（*）

所以故.

令，则有，，.另一方面，由（*）知，，，由于为正整数，则，从而，且，令，则，，或，满足条件（*）.故满足题设条件.

综上所述，所求的为，其中为正整数.

四、解：考虑一般情形，集合由个点构成，满足任意四点不共面.正整数满足条件：在任意线段上标上一个的非负整数，使得由中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.记为线段上被标数字不同的数目，则.下面我们用数学归纳法证明：.当时，结论平凡；对，取标上数字最小的边，记为数字.任取异于的点，则或边上的数字恰有一个为.记，.

不妨设.由归纳假设知，对中被标数字的数目，因为是被标记数字中最小的，故.故结论成立.特别地，当时，有，从而.

从而.下证，的最小值为10.记这2014个点分别为，我们标记线段上的数字为，其中为满足的最大非负整数.因为，所以.现设为任意不同的三点，若线段被标记为同一数字，则，，这里均为奇数，于是，由于为偶数，知线段上标记的数字大于，满足题设条件；若线段标记为不同的数字，则，，这里均为奇数，于是，由于为奇数，知线段上标记的数字为，满足题设条件.

综上所述，的最小值为10.