(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(答案解析)

1．已知点是的重心，，若则的最小值是（ ）

A． ． ． ．

2．如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ）

①当时，

②当P是线段的中点时，，

③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

④的最大值为

A．1 ．2 ．3 ．4

3．中，，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（ ）

A．-2 ．2 ．-1 ．1

4．己知平面向量满足，则的最大值为（ ）

A．4 ． ． ．6

5．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）

A．2 ． ．3 ．

6．在中，为的中点，且，若的面积为，则的长为（ ）

A． ． ．3 ．

7．已知，为单位向量，，则在上的投影为（ ）

A． ． ． ．

8．在中，为边上一点，且，向量与向量共线，若，，，则（ ）

A．3 ． ．2 ．

9．在中，，，，是上一点，且，则等于（ ）

A．1 ．2 ．3 ．4

10．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，若，则（ ）

A． ． ． ．

11．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（ ）

A． ． ． ．1

12．在中，是边上的一点，是上的一点，且满足和，连接并延长交于，若，则的值为（ ）

A． ．

C． ．

二、填空题

13．已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.

14．已知，点是平面上任意一点，且（），给出以下命题：

①若，，则为的内心；

②若，则直线经过的重心；

③若，且，则点在线段上；

④若，则点在外；

⑤若，则点在内．

其中真命题为______

15．在中，，E，F是边的三等分点，若，则_______________

16．已知，，，则与的夹角为________.

17．已知，，若，则=__________

18．在中，，，为的重心，则________．

19．已知，，则在的方向上的投影为________．

20．在中，，，且，，其中，且，若，分别为线段，中点，当线段取最小值时__________.

三、解答题

21．已知平面直角坐标系中，点 为原点，  ．

(I)求的坐标及 ；

(Ⅱ)设  为单位向量，且 ，求的坐标

22．已知，，.

（1）若，判断的形状，并给出证明；

（2）求实数的值，使得最小；

（3）若存在实数，使得，求、的值.

23．如图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为.

（1）设，求，的值；

（2）求的值.

24．在中，为的重心，过点的直线分别交于两点，且，

（1）求的值；

（2）设分别表示的面积，求的最小值.

25．已知平面上三点A，B，C的坐标依次为，，.

（1）若为直角三角形，且角A为直角，求实数k的值；

（2）在（1）的条件下，设，，若，证明：.

26．已知椭圆

（1）求椭圆的标准方程和离心率；

（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

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一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

先根据重心得到，设，利用数量积计算，再利用重要不等式求解的最小值，即得结果.

【详解】

点是的重心，设D为BC边上的中点，则，

因为设，则，即，故，即，

当且仅当时等号成立，故的最小值是.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键在于通过重心求得向量关系，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.

2．C

解析：C

【分析】

利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出，求出x，y判断出②正确,利用三点共线解得④正确

【详解】

当时，，则在线段上，故，故①错

当是线段的中点时，

，故②对

为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故③对

如图，过作，交于，作，交的延长线于，

则：；

又；，；

由图形看出，当与重合时：；

此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故④正确

所以选项②③④正确.

故选：C

【点睛】

结论点睛：若，则三点共线.

3．C

解析：C

【分析】

根据向量求和的平行四边形法则可以得出，再利用向量的数量积的运算可以得到，因为，代入计算可求出最小值.

【详解】

解：在直角三角形中，，则，因为M为BC的中点，所以.设， 

所以当，即时，原式取得最小值为.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍；

（2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积；

（3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可.

4．B

解析：B

【分析】

利用得到，令，则，利用平面向量的运算法则得到，再利用基本不等式即可求解.

【详解】

因为，

所以，

则，

令，

所以，

则

，

，

所以，

利用基本不等式知：，

则，

当且仅当时取等号，

此时.

则的最大值为.

故选：B.

【点睛】

思路点睛：利用已知条件得到，令，则，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到，最后利用基本不等式即可解决.

5．B

解析：B

【分析】

将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.

【详解】

.故选B.

【点睛】

本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

6．B

解析：B

【分析】

设先化简得，由的面积为得，即得的长.

【详解】

设

由题得，

所以，

所以.

因为的面积为，所以.

所以.

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角形的面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7．C

解析：C

【分析】

由题意结合平面向量数量积的运算可得，进而可得、，代入投影表达式即可得解.

【详解】

因为，为单位向量，所以，

又，所以

所以，即，

所以，则，，

所以在上的投影为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.

8．B

解析：B

【解析】

取BC的中点E，则与向量共线，所以A、D、E三点共线，即中边上的中线与高线重合，则.因为，所以G为的重心，则

所以

本题选择B选项.

9．C

解析：C

【解析】

 在中，，，是是上一点，且，

 如图所示，

 设，所以，

 所以，

 解得，所以，故选C．

10．B

解析：B

【分析】

由，可得.结合余弦定理，可求角.

【详解】

，且，

，

整理得.

又.

.

故选：B.

【点睛】

本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.

11．B

解析：B

【分析】

利用向量与的夹角是，且，得出，进而将化成只含有为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值.

【详解】

对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图

，，,

，，

，，

，

，

，

，

化简得

当且仅当时，的最小值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把化成只含有为自变量的二次函数形态，进而求最值.

12．C

解析：C

【分析】

首先过做，交于，根据向量加法的几何意义得到为的中点，从而得到为的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案.

【详解】

如图所示，过做，交于.

因为，所以为的中点.

因为，所以为的中点，

因为，所以.

因为，所以，即.

又因为，所以，

故.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.

二、填空题

13．【分析】设点的坐标是求出再利用配方法可得答案【详解】设点的坐标是即因为向量所以当时有最小值此时点的坐标是故答案为：【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1几何法；2三角函数有界法；3二次函

解析：

【分析】

设点的坐标是，求出，再利用配方法可得答案.

【详解】

设点的坐标是，即，

因为向量，，

所以，

，

，

当时，有最小值，此时点的坐标是，

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.

14．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则

解析：②④

【分析】

①可得在的角平分线上，但不一定是内心；②可得在BC边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断.

【详解】

①若，，则，因为是和同向的单位向量，则在的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；

②若，则，则根据平行四边形法则可得，在BC边中线的延长线上，故直线经过的重心，故②正确；

③若，且，则，即，即，则点在线段上或的延长线上，故③错误；

④若，，整理可得，，根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故④正确；

⑤若，则令，则，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故⑤错误.

故答案为：②④.

【点睛】

本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.

15．【分析】以ABAC为邻边作平行四边形ABCD根据得到再根据得到平行四边形ABCD是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以ABAC为邻边作平行四边形ABCD则因为所

解析：

【分析】

以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，根据，得到， 再根据，得到平行四边形ABCD是菱形，则，设，利用勾股定理分别求得，的长度，在中利用余弦定理求解.

【详解】

如图所示：

以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，则，

因为，

所以，设，则，

因为，所以平行四边形ABCD是菱形，

所以，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

16．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题

解析：

【分析】

本题先求，，，再根据化简整理得，最后求与的夹角为.

【详解】

解：∵ ，，

∴ ，，，

∵ ，

∴ 

整理得：，

∴与的夹角为：.

故答案为：

【点睛】

本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.

17．【分析】根据向量垂直得数量积为0从而求得的值利用求模公式求得向量的模【详解】若则即求得故故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法意在考查学生的数算的学科素养属中档题

解析：

【分析】

根据向量垂直得数量积为0，从而求得的值，利用求模公式求得向量的模.

【详解】

，，，若，

则，即，求得

故 ，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法，意在考查学生的数算的学科素养，属中档题.

18．6【分析】根据三角形重心的性质转化为以及再求数量积【详解】如图点是的中点为的重心所以故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积重心重点考查转化与化归思想计算能力属于基础题型

解析：6

【分析】

根据三角形重心的性质转化为，以及，再求数量积.

【详解】

如图，点是的中点，

为的重心，，，

所以 

故答案为：6

【点睛】

本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.

19．2【分析】根据向量在的方向上的投影为结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可求解【详解】由题意向量可得则在的方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应

解析：2

【分析】

根据向量在的方向上的投影为，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，向量，，

可得，，

则在的方向上的投影为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

20．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛

解析：

【分析】

根据平面向量的数量积运算求得的值，再利用中线的性质表示出、，由此求得，计算当的最小时的值即可．

【详解】

解：连接，，如图所示：

由等腰三角形中，，知，所以.

∵是的中线，∴.

同理可得.

∴，

，

又，

∴，.

故当时，有最小值，此时.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．

三、解答题

21．（1）,（2），或

【详解】

试题分析：（I）利用向量的坐标运算直接求的坐标及；

（II）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可．

试题

（I）,

(Ⅱ)设单位向量，

所以，即

又,

所以即

由，解得或者

所以，或

22．（1）为直角三角形；（2）；（3）.

【分析】

（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；

（2）根据题意可得，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；

（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.

【详解】

（1）当时，为直角三角形.证明如下：

当时，由，，，则，，

此时，即，即，

所以，为直角三角形.

（2）由题意，，，则，

所以，，当且仅当时取等号.

故当时，取得最小值为.

（3）由题意，，，因，

所以，解得.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.

23．（1），；（2）.

【分析】

（1）由向量的加减运算，可得，进而可得答案.

（2）用表示，利用向量数量积公式，即可求得结果.

【详解】

（1）因为，所以.

.

又，

又因为、不共线，所以，，

（2）结合（1）可得：

.

，

因为，，且与的夹角为.

所以.

【点睛】

本题考查了向量的加减运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于基础题目.

24．（1）；（2）.

【分析】

（1）为的重心，可得，再由三点共线，利用共线的充要条件可得，结合已知和向量的基本定理，即可求出关系；

（2）由三角形面积公式可得，利用（1）中结论，结合基本不等式，即可求出结论.

【详解】

（1）设中点为，则三点共线，

且，

三点共线，存在唯一的，

使得，

不共线，，

整理得；

（2）

，

当且仅当时，等号成立.

的最小值为.

【点睛】

本题考查向量基本定理以及共线充要条件的应用，注意运用基本不等式求最值，属于中档题.

25．（1）（2）证明见解析

【分析】

（1）根据为直角三角形，且角A为直角，可知，即，解得值；（2）利用向量三角形法则得出和，由知，利用向量平行性质即可证明.

【详解】

解：（1）因为A，B，C的坐标依次为，，.

所以，，

因为为直角三角形，且角A为直角，

所以，

所以，

所以

（2）

，

因为，所以，

所以，

整理得.

【点睛】

本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数乘，平行向量的坐标关系，属于基础题.

26．（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0

【分析】

（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；

（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．

【详解】

（1）由，得，进而，；

（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，

可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，

可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，①

由，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②

将②代入①可得3y1﹣3＝，y1（2y1﹣3）＝，

消去y1，可得•＝，解得m2＝，所以，

故存在这样的直线l，且方程为7x﹣y+3＝0或7x+y﹣3＝0．

【点睛】

本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．