中考总复习：二次函数--知识讲解(基础)

【考纲要求】

1．二次函数的概念常为中档题.主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；

２.二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点;

3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过,覆盖面较广,而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、二次函数的定义

    一般地,如果（a、b、c是常数,a≠０）,那么y叫做x的二次函数．

要点诠释: 

二次函数(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.(2)二次项系数a≠0．

考点二、二次函数的图象及性质

１.二次函数（a≠0)的图象是一条抛物线,顶点为．

2.当ａ>0时,抛物线的开口向上;当a＜0时，抛物线的开口向下．

3．①|ａ｜的大小决定抛物线的开口大小.|a｜越大,抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大.

②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置.c=０时,抛物线过原点;c＞0时,抛物线与y轴交于正半轴;c<0时，抛物线与ｙ轴交于负半轴．

　 ③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时,对称轴为ｙ轴;当ab>０时，对称轴在y轴左侧;当ab<0时，对称轴在y轴的右侧．

４.抛物线的图象,可以由的图象移动而得到.

将向上移动k个单位得：.

将向左移动h个单位得：．

将先向上移动k(k＞0）个单位,再向右移动h(h>０）个单位，即得函数的图象.

要点诠释：

求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.

考点三、二次函数的解析式

1.一般式:(a≠0)．

 　　　若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为,将已知条件代入,求出a、b、c的值．

2.交点式（双根式）：．

 　  若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(ｘ1，0)，(x2，0）,设所求二次函数为,将第三点(m,n)的坐标（其中m、n为已知数）或其他已知条件代入,求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．

3.顶点式：.

　  　若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值），设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数,最后将解析式化为一般形式．

４．对称点式:.

若已知二次函数图象上两对称点(x１，m),(x2,ｍ),则可设所求二次函数为

,将已知条件代入，求得待定系数,最后将解析式化为一般形式．

要点诠释：

   　已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式．已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

（可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式：(ａ≠0）．（由此得根与系数的关系:）.

考点四、二次函数(a≠0)　的图象的位置与系数a、b、c的关系

1.开口方向：a>0时,开口向上，否则开口向下.

2．对称轴:时,对称轴在ｙ轴的右侧;当时，对称轴在ｙ轴的左侧.

3.与x轴交点:时,有两个交点;时,有一个交点;时，没有交点.

要点诠释:

 　　  当x＝1时,函数ｙ＝ａ＋b+c；

     当x＝-1时，函数y＝a-b+c；

　当a＋ｂ+c>0时,ｘ=1与函数图象的交点在x轴上方,否则在下方；

  　　 当a-b＋c＞０时,x＝-１与函数图象的交点在ｘ轴的上方，否则在下方.

考点五、二次函数的最值

1.当a＞０时,抛物线有最低点，函数有最小值,当时,.

2．当a＜0时，抛物线有最高点,函数有最大值，当时,．

要点诠释：

   　在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值,还应考虑实际问题的自变量的取值范围．

【典型例题】

类型一、应用二次函数的定义求值

1．二次函数y=x2-2（ｋ+1）x+ｋ+3有最小值-4，且图象的对称轴在y轴的右侧，则k的值是   　  　　    2.

【思路点拨】

因为图象的对称轴在y轴的右侧,所以对称轴x=k+1＞０,即k＞-1;又因为二次函数y=x2-2（k+1)ｘ+k+3有最小值－4，所以ｙ最小值= ＝-4，可以求出k的值．

【答案与解析】

解:∵图象的对称轴在ｙ轴的右侧,

∴对称轴x=k+1>0,

解得ｋ＞-１，

∵二次函数y=ｘ2-2（k+1)ｘ+k+３有最小值-4,ﻫ∴y最小值=　=k+3-(ｋ＋1)2=-k２-k+2＝-4，

整理得ｋ2+ｋ-6=０,

解得k=2或ｋ=-３,ﻫ∵k=－3<-1，不合题意舍去,

∴k＝2．

【总结升华】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出,第二种是配方法，

第三种是公式法.

举一反三：

【变式】已知是二次函数,求ｋ的值．

【答案】∵是二次函数,则

由得,

即，得,.显然,当k＝-3时,

原函数为ｙ=０，不是二次函数.

∴ 　k=2即为所求．

类型二、二次函数的图象及性质的应用

2.把抛物线向左平移１个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为(  　　)．

 　　     　A．　　　   Ｂ．

　       　C.  　　　　D．

【思路点拨】

抛物线的平移问题,实质上是顶点的平移,原抛物线y=－x2顶点坐标为(0，0)，向左平移1个单位,然后向上平移3个单位后，顶点坐标为(-１,3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式.

【答案】 D；

【解析】根据抛物线的平移规律可知：向左平移1个单位可变成,

再向上平移3个单位后可变成.

【总结升华】(1)图象向左或向右平移|h|个单位，可得的图象(h＜0时向左,h＞0时向右).

         (2）的图象向上或向下平移｜k|个单位，可得的图象(ｋ＞0时向上,k<0时向下)．

举一反三:

【变式】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后,所得图象的函

数表达式是(   )

Ａ.  　    B．

　 　　　 　 C．   　   D.

【答案】按照平移规律“上加下减,左加右减”得．故选A.

类型三、求二次函数的解析式

3．已知二次函数的图象经过点（1，0),（－5，0),顶点纵坐标为，求这个二次函数的解析式．　

【思路点拨】

将点（1,0)，(-5，0）代入二次函数y=ａx２+bx+ｃ，再由 ，从而求得a,b，c的值，即得这个二次函数的解析式.

【答案与解析】

解法一:由题意得 　 解得

所以二次函数的解析式为．

解法二：由题意得  ．

把代入，得，解得.

所以二次函数的解析式为,

即  .

解法三：因为二次函数的图象与ｘ轴的两交点为(1,0),(－5,0）,由其对称性知，

对称轴是直线．所以,抛物线的顶点是.

可设函数解析式为．即．

【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式．

举一反三：

【变式】已知：抛物线经过点.

(1）求的值；

(2）若，求这条抛物线的顶点坐标;

(3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且,求这条抛物线所对应的二次函数关系式．(提示:请画示意图思考）

【答案】

解：（1）依题意得:， 

. 

(2）当时,, 

抛物线的顶点坐标是． 

（3）解法1:当时，抛物线对称轴，

对称轴在点的左侧.

因为抛物线是轴对称图形，且.

．

． 

又,．

抛物线所对应的二次函数关系式． 

解法2:当时，,

对称轴在点的左侧.因为抛物线是轴对称图形,

，且 

．

又，解得：

这条抛物线对应的二次函数关系式是. 

解法3：，，

轴， 

即：．

解得：，即　

由，.

这条抛物线对应的二次函数关系式． 

类型四、二次函数图象的位置与a、b、ｃ的关系

4.(２015•包头）如图，已知二次函数y=ａx2+bｘ+ｃ(a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1,０），对称轴为直线x＝1，与ｙ轴的交点B在(0，2）和(0，3)之间（包括这两点）,下列结论：

①当x>3时,y<0;②3a+b<0；③﹣１≤a≤﹣;④4ac﹣ｂ２>8a；其中正确的结论是（　 ）

 ﻩＡ.①③④ ． ①②③ Ｃ.ﻩ①②④ﻩD. ①②③④

【思路点拨】

①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3,0）,从而可知当x＞3时,ｙ<0；

②由抛物线开口向下可知ａ<0,然后根据x=﹣=1,可知：２a+b=0，从而可知3ａ+ｂ=0+a=a＜0;

③设抛物线的解析式为ｙ=a（x＋1)（x﹣３），则y=ａx2﹣2ax﹣3a,令x=0得:y=﹣3ａ．由抛物线与y轴的交点B在（０，2)和（０,3)之间，可知2≤﹣3a≤3．④由４ac﹣b2>８a得ｃ﹣2<0与题意不符.

【答案】Ｂ；

【答案与解析】

解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3，0）,当x>3时，y<0,故①正确;

②抛物线开口向下，故a<0，

∵x=﹣＝1，

∴２a＋b=0.

∴３a+b=0+a＝a<0,故②正确;

③设抛物线的解析式为y=a(x+１)（x﹣３)，则y=ax2﹣2aｘ﹣3a，

令x=０得:y=﹣3a．

∵抛物线与y轴的交点Ｂ在（0,２)和（０,3)之间,

∴2≤﹣3a≤3．

解得：﹣１≤ａ≤﹣,故③正确;

④∵抛物线y轴的交点B在(0,2)和（０，3)之间，

∴２≤c≤３，

由4ac﹣ｂ2＞８ａ得:4ac﹣8a>b2，

∵a＜0，

∴c﹣2<

∴c﹣2＜0

∴ｃ＜2,与2≤c≤3矛盾,故④错误.

故选：Ｂ.

【总结升华】

本题主要考查的是二次函数的图象和性质,掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、ｂ、c之间的关系是解题的关键.

举一反三：

【变式】如图所示是二次函数图象的一部分,图象经过点Ａ（-3,０）,对称轴为.给出四个结论：①;②；③；④．其中正确结论是(   ).

　　　 A．②④　  　B．①④    C.②③  　 D．①③

【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a、b、ｃ的和、差、积的符号问题,其中利用直线， 交抛物线的位置来判断，的符号问题应注意理解和掌握.

由图象开口向下,可知a＜0，图象与x轴有两个交点,所以,,

1确．对称轴为,所以，又由a<０，b＝２a，可得5a＜b，④正确.

故选B.

类型五、求二次函数的最值

5．某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出2１０件;如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为)y元．

（1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．

　　  (２)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于22０0元?

【思路点拨】

（1)每件商品的售价每上涨１元,则每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x元时，每个月可卖出(2１0-１0x)件,每件商品的利润为ｘ+50-40=10+x;

(2)每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即(2１0-1０x）(1０＋x),当每个月的利润恰为2200元时得到方程（２１0-１0ｘ）(1０+x)＝22０0．求此方程中x的值．

【答案与解析】

（１)y=(21０-l0x)(50+x-4０)=-10x２+１10x+2100（0<ｘ≤1５且ｘ为整数）．

　  　(2)y＝-10(ｘ－5.5)2+2４02.5．

     ∵  ａ＝-10＜0,∴ 　当x=５．5时,y有最大值240２.5.

 　 　 ∵　 0＜x≤15,且x为整数，

  　 　∴　 当x=5时,5０+x＝5５，ｙ＝２４00(元)；

当x=6时，50+x=5６，y＝24０0(元).

    　∴  当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是２４０0元．

    (３)当y=220０时,-10x２+１１０ｘ+21０0＝220０，

    　解得x1=1,x2=10．

　  　 ∴  当x=1时，５0＋ｘ=51；当ｘ＝１0时,50+ｘ=60.

 　  　∴ 　当售价定为每件5１元或60元时,每个月的利润为22０0元.

【总结升华】

做此类应用题时,要明确题目中所给的信息,并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程．

举一反三：

【变式】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售９0箱，价格每提高l元，平均每天少销售３箱。

  　 　 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x（元/箱)之间的函数关系式.

　 　   (2)求该批发商平均每天的销售利润ｗ(元)与销售价ｘ（元/箱）之间的函数关系式．

（３)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

【答案】

解：(1),

 　　  　  化简得y=-3ｘ+２４0(50≤x≤55）.

（2）w＝(x－40）(-3x+24０)

(50≤x≤55).

    （3)w=，

     ∵　 a＜0，∴  抛物线开口向下．

当时,ｗ有最大值，

　 　 又x<60,w随x的增大而增大.

     ∴  当x=5５元时,ｗ的最大值为l125元。

∴  当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．

类型六、二次函数综合题

6．(2015•北京)在平面直角坐标系xOy中,过点（０，２）且平行于x轴的直线，与直线ｙ=x﹣1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B,抛物线C1：y=x２＋ｂx＋c经过点A,B.

（1）求点A,Ｂ的坐标；

(2）求抛物线C１的表达式及顶点坐标;

(３)若抛物线C2：ｙ=ax２(a≠０)与线段ＡB恰有一个公共点,结合函数的图象，求a的取值范围.

【思路点拨】

（1）当ｙ=2时，则2＝ｘ﹣1，解得x=3，确定Ａ（3,2)，根据AＢ关于ｘ=1对称，所以Ｂ(﹣1,２）.

(２)把(3,2），（﹣2,２)代入抛物线Ｃ1:y=x２+bｘ+c得，求出b,c的值,即可解答；

(3）画出函数图象，把A,B代入y＝aｘ2，求出a的值,即可解答．

【答案与解析】解:（1)当y=2时,则2＝x﹣1,

解得:x＝3,

∴A(３,２),

∵点A关于直线x＝１的对称点为Ｂ,

∴Ｂ(﹣１，2).

（２）把(3,2),（﹣２，２）代入抛物线C１：ｙ=ｘ2+bx＋c得:

解得：

∴y=ｘ2﹣２x﹣1．

顶点坐标为(1,﹣2）.

（3)如图，当C2过A点，Ｂ点时为临界，

代入A(3，２)则９a=2,

解得：a=，

代入Ｂ（﹣１,2)，则a(﹣１）２＝２，

解得：ａ=2,

∴

【总结升华】本题考查了二次函数的性质,解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题.

举一反三:

【变式１】已知函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是(    ）

A.-1≤x≤３    B．-3≤ｘ≤1　   Ｃ．x≥－3  　　D.ｘ≤-1或x≥3

【答案】由图象知,使ｙ＝l成立的x的值为x＝-1,x＝3，使y>1的图象是在直线y＝１上方的两部分.

答案:D．

【变式2】已知:抛物线(为常数，且）．

（1)求证:抛物线与轴有两个交点；

（2)设抛物线与轴的两个交点分别为、(在左侧),与轴的交点为. 

①当时,求抛物线的解析式;

②将①中的抛物线沿轴正方向平移个单位(>0)，同时将直线：沿轴正方向平移个单位.平移后的直线为,移动后、的对应点分别为、.当为何值时,在直线上存在点，使得△为以为直角边的等腰直角三角形?

【答案】

（１)证明：令,则.

△=.

∵ ,

∴　.

∴ △．  　 

∴　方程有两个不相等的实数根.

∴ 抛物线与轴有两个交点.　

(２)①令,则,

解方程,得．

∵　在左侧,且,

∴ 抛物线与轴的两个交点为,．

∵ 抛物线与轴的交点为,∴　.　

∴ .

在Rt△中,,

．

可得 ．

∵ ，∴ .　

∴ 抛物线的解析式为. 

   ②依题意,可得直线的解析式为,

,，. 

∵ △为以为直角边的等腰直角三角形,

∴ 当时,点的坐标为或.

∴ .

解得 或． 

当时,点的坐标为或.

∴.

解得或（不合题意，舍去）．

综上所述，或．