人教版九年级数学圆复习1

一   知识点

（一）圆的有关概念和性质

1．圆是        的所有点组成的图形．

2．圆是轴对称图形，它的直径所在的直线都是对称轴；又时中心对称图形，它的中心是圆心．

3．垂径定理：（图1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

5．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余各组量都分别          ．

例1、如图2,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.

例2、如图3，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。

         （图1）                （图2）                 （图3）

关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。

圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

6．顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

7．圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

8 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径．

9．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

10．           的三点确定一个圆．

11．设圆的半径为，点到圆心的距离为，则点在圆外        ；

点在圆上              ；点在圆内          ．

12．三角形的三个顶点可以确定一个圆，这个圆叫做                     ，外接圆的圆心叫做三角形的          ，它到三角形         都相等，是              的交点．

问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？

问题2：三角形的外心一定     在三角形内吗？

13. 如果一个圆经过四边形的各顶点，这个圆叫做四边形的外接圆。这个四边形叫做这个圆的内接四边形。

推论：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

推论：圆内接梯形是等腰梯形，圆内接平行四边形是矩形

（三）圆的有关算

14．正边形的一个内角的都数是        ；中心角为               ．

15．扇形的半径为，扇形的圆心角为，那么扇形的弧长        ，扇形的面积           ．

16．如果扇形的弧长为，半径为，那么扇形的面积              ．

17．圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

如果底面半径为，母线长为，则圆锥的高为       ，侧面积为           ．

二  圆易错点 

1．注意考虑点的位置

在解决点与圆的有关问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等． 

例１．点到⊙上的最近距离为，最远距离为，则⊙的半径为

　　　　．

例２．是⊙的一条弦，点A是⊙上的一点（不与B、C重合），则的度数为            ．

2．注意考虑弦的位置

在解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类．

例3．在半径为的圆中，有两条平行的弦，一条为，另一条为，则这两条平行弦的距离是　　   ．

例4．是⊙的直径，、是⊙的两条弦，且，则的度数为          ．

  三 考点

考点1：基本概念和性质

考查形式：主要考查圆的对称性、直径与弦的关系、等弧等有关命题，常以选择题的形式出现．

例1．（2010兰州）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（   ）．

   A．4个       B．3个        C． 2个         D． 1个

考点2：圆心角与圆周角的关系

例2．（2010年连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CD，∠B＝22°，

则∠A＝________°．

考点3：垂径定理

考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决．

例3．（2010芜湖）如图，在⊙O中，有折线，其中，，则弦的长为（   ）。

Ａ．     Ｂ．     Ｃ．    Ｄ． 

考点4：弧长扇形面积的计算

考查形式：考查运用弧长公式（）以及扇形面积公式（和）进行有关的计算，常以填空题或选择题的形式进行考查．

例1、扇形的面积是它所在圆的面积的2/3 ，这个扇

形的圆心角的度数是_________°

例2、 扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求扇形的面积和周长.

例6．（2010巴中）如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为                ．

解题思路：本题可以把六个扇形作为一个整体，六个扇形圆心角的为六边形的内角和，在运用扇形面积公式即可求解

考点5：圆锥的侧面展开问题

考查形式：考查圆锥的侧面展开图的有关知识以及空间想象能力，常以选择题或填空题的形式出现．

例1、 圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为_______

例2．（2010年眉山）已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2．

例3、已知：在RtΔABC, ∠ACB=90°，AB=5,AC=4, 求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。

例4.已知圆锥底面半径为1cm，母线长为３cm.

（1）求它的侧面展开图的圆心角和全面积.

（2）若一甲虫从圆锥底面圆上一点A出发，沿圆锥侧面绕行到母线SA的中点B,它所走的最短路程是多少？

巩固练习

1．下列命题中，正确命题的个数为（   ）.

①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直；④圆周角相等，则它们所对的弧相等．

A．1个       B．2个        C． 3个         D． 4个

2．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500，点D是弧BAC上一点，则∠D的度数________.

3．如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，则弦AB的长是（     ）．

  A．    B．    C．      D． 

5．已知和的半径分别是一元二次方程的两根，且则和的位置关系是          ． 

6．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为         （结果保留）．

7．小明想用一个半径为5cm，弧长是cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么围成的圆锥的高度是        cm．

8．如图，，切⊙O于，两点，切⊙O于点，分别交、与点、，若，的长是关于关于的一元二次方程的两个根，求的周长．