数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十三章

一、证明题

1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：

(1) fn(x)=,n=1,2,…,D=(-1,1);

(2) fn(x)=,n=1,2,…D=(-∞,+∞);

(3) fn(x)=

 ……);

(4) fn(x)=, n=1,2,…, (i)  D=[0,+∞

(5) fn(x)=sin, n=1,2,…,  (i) D=[-L,L];  (ii) D=[-∞,+∞];

(6) ,  D=[-∞,+∞];

(7) , (i)  D=[-∞,+∞];  (ii) D=.

2. 证明:设f(x)→f(x),x∈D; an→0(n→∞),(an>0),若对每一个自然数n.有

|fn(x)-f(x)|≤an, x∈D,

则{fn}在D上一致收敛于f.

3. 设{fn}为定义在[a,b]上的函数列,且对每一个n,fn在点a右连续,但{fn(an)}是发散的,证明在任何开区间(a,a+δ)这里(a+δ4. 设函数项级数(x)在D上一致收敛于S(x),函数g(x)在D上有界,证明级数在D上一致收敛于g(x)S(x).

5. 若在区间I上,对任何自然数n, |un(x)|≤Vn(x), 证明当(x)在I上一致收敛时,级数(x)在I也一致收敛.

6. 设un(x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数,证明:若(a)与(b)都绝对收敛,则级数(x)在[a,b]上绝对并一致收敛.

7. 在[0,1]上定义函数列

证明: 级数(x)在[0,1]上一致收敛,但它不存在优级数.

8. 证明:级数在[0,1]上绝对并一致收敛,但由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛.

9. 设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=,n=1,2,……,证明函数列{fn}在(a,b)内一致收敛于f.

10. 设{un(x)}为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每一个un(x)都是[a,b]上的单调函数.则级数

u1(x)-u2(x)+u3(x)-u4(x)+…

在[a,b]上一致收敛.

11. 证明: 若函数列{fn}在[a,b]上满足定理13.10的条件,则{fn}在[a,b]上一致收敛.

12. 证明: 函数f(x)=在(-∞,+∞)上连续,且有连续的导函数.

13. 证明: 定义在[0,2π]上的函数项级数 (014. 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及其极限函数的连续性,可积性和可微性.

(1) fn(x)=(n=1,2,…)x∈[-L,L];

(2) fn(x)=,n=1,2,…, (i) x∈, (ii) x∈ (a>0);

15. 证明函数ξ(x)=在(1,+∞)内连续,且有连续的各阶导数.

16. 证明:若函数列{fn}在x0的某δ邻域U(x0,δ)内一致收敛于f,且,则与存在且相等,即

=

17. 设f在(-∞,+∞)上有任何阶导数,记Fn=f(n),且在任何有限区间内,Fn→(n→∞),试证  (x)=cex(c为常数).

二、计算题

1. 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.

(1) ;

(2) ;

(3) ;  

  (4) .

2. 讨论下列函数列或函数英级数在所示区间D上的敛散性:

(1) 

(2) ;

(3) 

(4) ,∞)

(5) ,  D=(0,+∞)

(6) 

(7)  1,1]

3. 设S(x)=,x∈[-1,1],计算积分.

4. 设S(x)=,x∈(-∞,+∞),计算积分.

5. 设S(x)=(x>0),计算积分

三、考研复习题

1. 试问K为何值时,下列函数列{fn}一致收敛:

(1) fn(x)=xnke-nx,0≤x<+∞;

(2) 

2. 证明:(1)若fn(x)→f(x)(n→∞)(x∈I),且f在I上有界,则{fn}至多除有限项外,在I上是一致有界的;(2) 若fn(x)f(x)  (n→∞)(x∈I),且对每一个自然数n,fn在I上有界,则{fn}在I上一致有界.

3. 设f为上的连续函数,证明:

(1) {xnf(x)}在上收敛;

(2) {xnf(x)}在上一致收敛的充要条件是f在上有界且f(1)=0

4. 若把定理13.9中一致收敛函数列{fn}的每一项在[a,b]上连续改为在[a,b]上可积,试证{fn}在[a,b]上的极限函数在[a,b]上也可积.

5. 证明: 由二重极限(cos2n(m!πx))

所确定的极限函数是狄利克雷函数.

6. 设级数收敛,证明=.

7. 设可微函数列{fn}在[a,b]上收敛,{n}在[a,b]上一致有界,证明:{fn}在[a,b]上一致收敛.