2023年高考新课标全国Ⅰ卷数学真题及答案

新课标Ⅰ卷数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合{}

2,1,0,1,2M =--，

{

}260

N x x x =--≥，则M N ⋂=（

）A.

{}2,1,0,1-- B.

{}

0,1,2 C.

{}

2- D.2

2.

已知1i

22i

z -=

+，则z z -=（）

A.i

- B.i

C.0

D.1

3.已知向量()()1,1,1,1a b ==-

，若()()

a b a b λμ+⊥+ ，则（

）

A.1λμ+=

B.1λμ+=-

C.1λμ=

D.1

λμ=-4.设函数()()

2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（

）

A.(],2-∞-

B.[)2,0-

C.

(]

0,2 D.

[)

2,+∞

5.设椭圆222

2122:1(1),:14

x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （

）

A.

23

3

B.

C.

D.

6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）

A.1

B.

4

C.

4

D.

4

7.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n

S n

为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知()11

sin ,cos sin 36

αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．

A.

7

9 B.

19

C.19-

D.79

-

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）

A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数

B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数

C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差

D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级0

20lg p p

L p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m

声压级/dB

燃油汽车106090

混合动力汽车105060

电动汽车

10

40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．

A.12p p ≥

B.2310p p >

C.30

100p p = D.12

100p p ≤11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2

2

f xy y f x x f y =+，则（

）．

A.()00f =

B.()10

f =C.()f x 是偶函数

D.0x =为()f x 的极小值点

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m 的球体

B.所有棱长均为1.4m 的四面体

C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体

D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．

14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112,1,AB A B AA ===

________．

15.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．

16.已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，

11222,3

F A F B F A F B ⊥=-

，则C 的离心率为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；

（2）设5AB =，求AB 边上的高．

18.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；

（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ．

19.

已知函数()(

)

e x

f x a a x =+-．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）证明：当0a >时，()3

2ln 2

f x a >+

．20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n n

n n

b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．

（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．

21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11

n n

i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记

前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．

22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝

⎭

的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；

（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD

的周长大于

2023年普通高等学校招生全国统一考试

新课标Ⅰ卷数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合{}

2,1,0,1,2M =--，

{

}260

N x x x =--≥，则M N ⋂=（

）A.

{}2,1,0,1-- B.

{}0,1,2 C.

{}

2- D.2

【答案】C 【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【详解】方法一：因为{}

(][)2

60,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M

=--，

所以M N ⋂={}2-．

故选：C ．

方法二：因为{}2,1,0,1,2M

=--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以

M N ⋂={}2-．

故选：C ．2.已知1i

22i

z -=+，则z z -=（）

A.

i - B.

i

C.0

D.1

【答案】A 【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2

z =，即i z z -=-．故选：A ．

3.已知向量()()1,1,1,1a b ==- ，若()()a b a b λμ+⊥+

，则（

）

A.1λμ+=

B.1λμ+=-

C.1λμ=

D.1

λμ=-【答案】D 【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+

，a b μ+ ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-

，

由()()a b a b λμ+⊥+ 可得，()()

0a b a b λμ+⋅+=

，

即

()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．

故选：D ．

4.设函数()()

2x x a f x -=在区间

()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（

）

A.(],2-∞-

B.[)2,0-

C.

(]

0,2 D.

[)

2,+∞【答案】D 【解析】

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数

2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a

f x -=在区间()0,1上单调递减，

则有函数2

2()(24

a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，

所以a 的取值范围是[)2,+∞.

故选：D

5.设椭圆2222

122

:1(1),:14

x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e ，则=a （）

A.

3

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由21e ，得22

213e e =，因此

2241134a a --=⨯，而1a >，所以3

a =

.故选：A 6.过点()0,2-与圆2

2410x

y x +--=相切的两条直线的夹角为

α，则sin α=（

）

A.1

B.

4

C.

4 D.

4

【答案】B 【解析】

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810k k ++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为22410x y x +--=，即()2

225x y -+=，可得圆心()2,0C

，半径r ，

过点()0,2P

-作圆C 的切线，切点为,A B ，

因为

PC ==

，则PA

=

可得106

sin ,cos 44APC APC ∠=

=

∠==

，

则sin sin 22sin cos 2444

APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯

⨯=

，2

2

22

1cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛⎫∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

即APB ∠为钝角，

所以()sin sin πsin 4

APB APB =-∠=∠=

α

；法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0

C ，半径r ，

过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，

可得

PC ==

，则PA PB ===，

因为2

2

2

2

2cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，

即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1

cos 04

APB ∠=-

<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4

APB APB =-∠=-∠=α，

且α

为锐角，所以sin 4

α

==

；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0

C

，半径r ，

若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，

则

=，整理得2810k k ++=，且4600

∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得

12k k -=

所以1212

tan 1k k k k -=

=+

αsin cos α

α

=，可得cos =α则22

2

2

sin sin cos sin 115

+=+=α

ααα，

且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝

⎭，则sin 0α>，解得sin 4

α=

.故选：B.

7.记n S 为数列

{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n

S n 为等差数列，则（

）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1

a

，公差为d ，

则1111(1)1,,222212

n n n n S S S n n n d d d

S na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{

}n

S n

为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{

}n

S n

为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，

即

1(1)

n n

na S t n n +-=+，则1(1)n n S n a t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，

两式相减得：1(1)2n n n a n a n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此

{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：

{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1

a

，公差为d ，即1(1)

2

n n n S na d -=+

，

则

11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n

为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{

}n S n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S

D S n D n n n

+-==+-+，即1(1)n S n S n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，

当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a n D a n D D +-=+-+-=为常数，因此

{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.故选：C

8.已知()11

sin ,cos sin 36

αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．

A.

7

9 B.

19

C.19-

D.79

-

【答案】B 【解析】

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6

αβ=，因此1sin cos 2αβ=，

则2

sin()sin cos cos sin 3

αβαβαβ+=+=

，所以22

21cos(22)cos 2()12sin ()12()3

9

αβαβαβ+=+=-+=-⨯=

.故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．

（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）

A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数

B.

2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数

D.

2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差

【答案】BD 【解析】

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()1652341234562345212

x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=

-=

，因为没有确定()1652342

,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，

例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得11

2,6

m n ==

；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为34

2

x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，

则2345,,,x x x x 的波动性不大于16,,x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()1

2468101276

n =+++++=，

标准差13

s =

=，4,6,8,10，则平均数()1

4681074

m =

+++=，

标准差2s =

=，

显然

53

>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；

故选：BD.

10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级0

20lg

p p

L p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m

声压级/dB

燃油汽车106090 混合动力汽车105060

电动汽车

10

40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（

）．

A.12p p ≥

B.2310p p >

C.

30

100p p = D.

12

100p p ≤【答案】ACD 【解析】

【分析】根据题意可知[][]12

3

60,90,50,60,40p p p

L L L ∈∈=，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：[][]12

3

60,90,50,60,40p p p

L L L ∈

∈=，

对于选项A ：可得1212100220lg 20lg 20lg p p p p p

L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则1

2

1220lg

0p p p L L p =-⨯≥，即12

lg 0p

p ≥，所以1

2

1p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得23322003

20lg

20lg 20lg p p p p p

L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥

，则2320lg

10p p ⨯≥，即231

lg 2

p p ≥

，所以2

3

p p ≥23,0p p >，可得23p ≥，当且仅当2

50p L =时，等号成立，故B 错误；

对于选项C ：因为33020lg

40p p L p =⨯=，即30

lg 2p

p =，可得3

100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121

2

20lg p p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1

2

20lg

40p p ⨯≤，

即12lg

2p p ≤，可得12

100p

p ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（

）．

A.()00f =

B.

()10

f =C.

()f x 是偶函数

D.0x =为

()f x 的极小值点

【答案】ABC 【解析】

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC ，举反例()0f x =即可排除选项D.

方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D ，可构造特殊函数2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩

进行判断即可.

【详解】方法一：

因为22()()()f xy y f x x f y =+，

对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，

又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，

对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.

方法二：

因为22()()()f xy y f x x f y =+，

对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，

又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，

对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22

x y ，得到

22

22()()()

f xy f x f y x y x y

=+，故可以设2()

ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0

x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，

当0x >肘，2()ln f x x x =，则()21

2ln (2ln 1)x x x x x

f x x =+⋅

=+'，令

()0f x '<，得1

20e x -<<；令()0f x ¢>，得12e x ->；

故()f x 在12

0,e -⎛

⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12

e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

上单调递增，

因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1

2,e -⎛

⎫ ⎪⎝∞⎭

-

上单调递减，

显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m 的球体

B.所有棱长均为1.4m 的四面体

C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体

D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD 【解析】

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；

对于选项B

1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C

1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；对于选项D

，且

1.2>，

设正方体1111A B C D ABCD -的中心为O ，以1AC 为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h ，

如图，结合对称性可知：1

111111,0.6222

OC C A C O OC OO ===-=-，则1111C O h AA C A =

，即0.621h -=

，解得

10.340.012h =>>，

所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：对于C 、D ：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以

及圆柱的性质分析判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．

【答案】

【解析】

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144

116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；

综上所述：不同的选课方案共有162424++=种.

故答案为：.

14.在正四棱台1111A B C D ABCD -中，1112,1,AB AB AA ==________．

【答案】

6【解析】【分析】结合图像，依次求得111

,,AO AO AM ，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过1A 作1AM AC ⊥，垂足为M ，易知1AM 为四棱台1111A B C D ABCD -的高，

因为1112,1,AB A B AA ==，

则11

11111111,22222AO AC B AO AC ======，

故()11122

AM AC AC =-=，则12A M ===，

所以所求体积为1(41326

V =⨯+⨯=.

故答案为：6

.15.已知函数

()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．

【答案】[2,3)

【解析】【分析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.

【详解】因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，

令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，

令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，

结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，

故答案为：[2,3).

16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，

11222,3

F A F B F A F B ⊥=- ，则C 的离心率为________．

【答案】

5##【解析】【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AF BF BF AF 关于,a m 的表达式，从而利用勾股定理求得a m =，进而利用余弦定理得到,a c 的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3x c y t =

=-，224t c =，将点A 代入双曲线C 得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，

在1Rt ABF 中，

2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），

所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故1

1244cos 55AF a F AF AB a ∠=

==，所以在12AF F △中，22212144cos 2425

a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，

故5

c e a ==

.方法二:

依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =- ，所以()()002,,3x c y c t -=--，则0023

5,3x c y t ==-，又11F A FB ⊥ ，所以()1182,,3

3F A F B c t c t ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222

254991c t a b -=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b -=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169c c a a c a c a --=-，

整理得424255090c c a -+=，则()()22225950c a

c a --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >

，所以5e =

或5e =（舍去）

，故5

e =.

故答案为：5

.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知在ABC 中，()3,2sin

sin A B C A C B +=-=．

（1）求sin A ；

（2）设5AB =，求AB 边上的高．

【答案】（1

）

10

（2）6

【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B ,再由正弦定理求出b ，根据等面积法求解即可.

【小问1详解】

3A B C += ，

π3C C ∴-=，即π4

C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，

2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，

sin cos 3cos sin A C A C ∴=，

sin 3cos A A ∴=，

即tan 3A =，所以π02

A <<

，310sin 10

A ∴==.【小问2详解】由（1

）知，10cos 10A ==

，由sin sin()B A C =

+sin cos cos sin (210105

A C A C =+=

+=，由正弦定理，sin sin c b C B =

，可得52

2

b ==，11sin 22

AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅

，sin 610

h b A ∴=⋅==.18.如图，在正四棱柱1111A B C D ABCD -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1D D 上，

22221,2,3AA BB D D C C ====．

（1）证明：2222B C A D ∥；

（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P AC D --为150︒时，求2B P ．

【答案】（1）证明见解析；

（2）1

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

（2）设(0,2,)(04)P λλ≤≤，利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解.

【小问1详解】

以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线为

,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，

则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1

)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- ，

2222B C A D ∴ ∥，又2222BC A D ，

不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.

【小问2详解】

设(0,2,)(04)P λλ≤≤，

则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=--- ，

设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =

，则22222202(3)0

n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令2z =，得3,1y x λλ=-=-，

(1,3,2)n λλ∴=-- ，设平面222AC D 的法向量(,,)m a b c = ，

则2222222020

m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1a =，得1,2==b c ，

(1,1,2)m ∴=

，cos ,cos150n m n m n m ⋅∴===︒= ，化简可得，2430λλ-+=，

解得1λ=或3λ=，

(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，

21B P ∴=.

19.已知函数()()

e x

f x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；

（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+

．【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02

g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.

方法二：构造函数()e 1x h x x =--，证得e 1x x ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02

a a -->的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】

因为(

)()e x

f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1x f x a '=-，

当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1x f x a -'=<恒成立，

所以

()f x 在R 上单调递减；

当0a >时，令

()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，

当ln x a <-时，

()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；

当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；

综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；

当0a >时，

()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.

【小问2详解】方法一：

由（1）得，()()(

)ln min 2ln ln ln e 1a

f a a x a f a a a --+=++=+=，

要证3()2ln 2f x a >+

，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证2

1ln 02

a a -->恒成立，令()()2

1ln 02g a a a a =-->，则()2121

2a g a a a a

-'=-=，

令()0g a '

<，则02a <<

；令()0g a '>，则2

a >；所以()g a 在20,2⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭

上单调递增，

所以()2

min

1ln 02222g a g ⎛⎫⎛⎫==--=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则()0g a >恒成立，

所以当0a >时，3

()2ln 2

f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h

x x =--，则()e 1x h x '=-，

由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1x h x '=-在R 上单调递增，

又()00e 10h '

=-=，

所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；

所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，

故()()00h

x h ≥=，则e

1x

x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，

因为(

)

2ln 22()e e e

ln 1x

x x a

f x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，

当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+

，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证2

1ln 02

a a -->，令()()2

1ln 02g a a a a =-->，则()2121

2a g a a a a

-'=-=，

令()0g a '

<

，则02a <<

；令()0g a '>

，则2

a >；所以()g

a

在0,2⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

上单调递减，在,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭

上单调递增，

所以(

)

2

min

1ln 02222g a g ⎛⎫⎛⎫==--=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3

()2ln 2

f x a >+

恒成立，证毕.20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n n

n n

b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．

（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；

（2）若

{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d

．

【答案】（1）3n a n =（2）5150

d =【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =，再由等差数列的性质可得50501a b -=，分类讨论即可得解.

【小问1详解】

21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，

又312326129

23T b b b d d d d

=++=

++=，339

621S T d d

∴+=+

=，即22730d d -+=，解得3d =或1

2

d =

（舍去），1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.

【小问2详解】

{}n b 为等差数列，

2132b b b ∴=+，即21312212

a a a =+，

23231

11616(

)d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，

又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即5050

1a b -=，

5050

25501a a ∴-

=，即2

505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；

当1

a d =时，501495051a a d d =+==，解得51

50

d =

.综上，5150

d =

.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11

n n

i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记

前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．

【答案】（1）0.6

（2）1

121653

i -⎛⎫⨯+

⎪

⎝⎭

（3）52()11853

n

n

E Y ⎡⎤⎛⎫=-+

⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】

【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设()i i P

A p =，由题意可得1

0.40.2i i p

p +=+，根据数列知识，构造等比数列即可解出；

（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【小问1详解】

记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，

所以，()()()()()()()

21212121121||P

B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.

【小问2详解】设()i i P

A p =，依题可知，()1i i P

B p =-，则

()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，

即

()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，

构造等比数列{}i p λ+，

设()125i i p p λλ++=

+，解得1

3λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

，

又11111,236p p =

-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩

⎭是首项为16，公比为2

5的等比数列，即1

1

112121,365653

i i i i p p --⎛⎫

⎛⎫-=⨯=⨯+

⎪

⎪

⎝⎭

⎝⎭

．【小问3详解】

因为1

121

653

i i p -⎛⎫

=⨯+

⎪

⎝⎭

，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315

n

n n n n E Y p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，

故52()11853

n

n

E Y ⎡⎤⎛⎫

=-+⎢⎥ ⎪

⎝⎭

⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本

知识求解．

22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛

⎫

⎪⎝

⎭

的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；

（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD

的周长大于【答案】（1）2

1

4

y x =+

（2）见解析【解析】

【分析】（1）设(,)P x y ，根据题意列出方程2

2212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝

⎭，化简即可；

（2）法一：设矩形的三个顶点

222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭，且a b c <<，分别令

0A B k a b m =+=<，0BC k b c n =+=>，且

1mn =-，利用放缩法

得

112C n n ⎛

≥+ ⎝

，设函数()

2

21()1f x x x x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭，利用导数求出其最小值，则得C 的最小值，再排除边界值即可.

法二：设直线

AB 的方程为2

1

()4

y k x a a =-++

，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得

AB AD +≥

，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.

法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【小问1详解】

设(,)P x y ,

则y =2

14y x =+，

故2

1:4

W y x =+

.【小问2详解】

法一：设矩形的三个顶点2

22111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

在W 上,且a

b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则1,A B B C k k a b b c =⋅-+<+,令

2240

114AB

k b a b a b a

m ⎛⎫+-+ ⎪

⎝=+⎭

==<-，同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n

=-

，设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n

-=-=-=+

，

则

11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛

=+=-+-≥-=+ ⎝

.0n >，

易知10n n ⎛+> ⎝

则令()

2

2

2111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛

⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭,

令()0f x '=

，解得2

x =

，

当2x ⎛⎫

∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，

()0f x '<，此时()f x 单调递减，

当,2x ⎛⎫

∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，

()0f x '>，此时()f x 单调递增，

则min 27()24f x f ⎫==⎪ ⎪⎝⎭

，

故

122

C ≥=

,

即C ≥.

当C =

,,2

n m ==,

且((b a b a -=-m n =

时等号成立，矛盾，故C >,

得证.

法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥

，

依题意可设2

1,4A a a

⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭

，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0，则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1

k

-

，由对称性，不妨设1k ≤，直线AB 的方程为2

1()4

y k x a a =-++

，则联立2

214

1()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩

得220x kx ka a -+-=，

()()2

22420k ka a k a ∆=--=->，则2k a

≠

则||2|AB k a =-，

同理||2AD a =，

|||||2|2AB AD k a a ∴+=-

1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m

+==+++，则2

221(21)(1)()23m m f m m m m '

-+=+-=，令()0'=f m ，解得12m =，当10,2m ⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减，

当1,2m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭

，()0f m '>，此时()f m 单调递增，则min 127()24

f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，

||||2AB AD ∴+≥

，

但1|2|2|2|2k a a k a a k ⎫-≥-++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时

2k =不一致，故2

AB AD +>.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动

14个单位得抛物线2:W y x '=,

矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设()()(

)222001122,,,,,B t t A t t C t t ''',根据对称性不妨设00t ≥.则1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+,由于A B B C ''''⊥,则()()10201t t t t ++=-.

由于1020,AB t BC t ''''=-=-,且0t 介于12,t t 之间,

则1020AB BC t t ''''+--.令20tan t t θ+=,

10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而

))

002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-

故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''

-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦

时

,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''

''++≥=+≥=≥②当ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000co t tan t t t θθ--<<-,从而0cot tan 22

t θθ-<<又00t ≥,故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B BC θθθθθθθθ

''''-++=+3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ

-+>+=

+

==

332≥≥=

，当且仅当cos 3

θ

=时等号成立，故2A B B C '

'''

+>，故矩形周长大于

.

【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得11||||2C AB BC n n ⎛=+≥+ ⎝，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.