专题：极坐标方程与直角坐标方程的互化

1、极坐标方程与直角坐标方程的互化

互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.

互化公式： 或 

θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.

例1.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．

(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

练习：曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为

        (A)   x2+(y+2)2=4     (B)  x2+(y-2)2=4  

        (C)   (x-2)2+y2=4     (D)  (x+2)2+y2=4   

2、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型

       常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:

 1、直线的极坐标方程(a>0)

    (1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程: =α;

    (2)垂直于极轴和极点间的距离为的直线的极坐标方程: cos=;

    (3)平行于极轴和极轴间的距离为的直线的极坐标方程: sin=;

    (4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程:

        sin(α-θ)=.

2、圆的极坐标方程(a>0)

    (1)圆心在极点,半径为的圆的极坐标方程: =;

    (2)圆心在(,0),半径为的圆的极坐标方程: =2cos;

    (3)圆心在(,),半径为的圆的极坐标方程: =;

    (4)圆心在(,),半径为的圆的极坐标方程: =2sin;

    (5)圆心在(,),半径为的圆的极坐标方程: =;

    (6)圆心在(,0),半径为的圆的极坐标方程: =2cos(-0).

3、极坐标系中的旋转不变性:

      曲线f(,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转||角(时,按顺

      时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.

例2．极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是（    ）

(A)圆           (B)椭圆      (C)双曲线的一支    (D)抛物线

练习：极坐标方程=cos(-)所表示的曲线是（    ）

      (A) 双曲线         (B)椭圆       (C)抛物线    (D)圆

3、判断曲线位置关系

例3．直线=和直线sin(-)=1的位置关系（    ）

        (A) 垂直       (B) 平行        (C)   相交但不垂直    (D)  重合

4、根据条件求直线和圆的极坐标方程

例4．在极坐标系中,如果一个圆的方程是=4cos+6sin，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（    ）

(A) sin=3     (B) sin = –3    (C) cos =2     (D) cos = –2

练习：在极坐标方程中,与圆=4sin相切的一条直线的方程是

       (A) sin=2  (B) cos=2  (C) cos= 4  (D) cos=- 4(答案:B)

5、求曲线中点的极坐标

例5．在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_________.

练习：极坐标方程52cos2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.

6、求距离

例6．在极坐标系中，直线的方程为ρsinθ=3，则点(2,)到直线的距离为__________.

练习：极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是 

(A)   2           (B)           (C)  1          (D)  

7、判定曲线的对称性

例7．在极坐标系中,曲线= 4sin(-)关于

           (A)  直线=轴对称    (B)直线=轴对称

           (C)  点(2,)中心对称    (D)极点中心对称

8、求三角形面积

例8．在极坐标系中,O是极点，设点A(4,)，B(5,)，则△OAB的面积是       .