初速度为零的匀变速直线运动规律

(1) 在前1T 末,前2T 末,前3T 末,.....前nT 末的瞬时速度之比为

n v v v v n :...:3:2:1:...:::321=

(2) 在前1T 内,前2T 内,前3T 内,...前nT 内的位移之比为

2

32:.....:9:4:1:...:::n x x x x nT T T T =

(3) 在第一个T 内,第二个T 内,第三个T 内,......第n 个T 内的位移之比为

)12(:.....:5:3:1:....:::321-=n x x x x n

(4) 在通过第一个∆x,第二个∆x,第三个∆x...第n 个∆x 所用的时间之比为

)1(:...:)23(:)12(:1:...:::321----=n n t t t t n

例1、一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5 s 末的速度是6 m ／s ，试求（1）第4 s 末的速度；（2）运动后7 s 内的位移；（3）第3 s 内的位移

分析：物体的初速度v 0=0，且加速度恒定，可用推论求解.

解：（1）因为00=v 所以at v t =，即t v ∝t

故5:4:54=v v

第4s 末的速度

s m s m v v /8.4/6545454=⨯==

（2）前5 s 的位移 m t v s 1552605=⨯+=

=

由于s ∝t 2 所以22575:7:=s s 故7 s 内的位移

m m s s 4.29152549575227=⨯==

（3）利用s I ∶s Ⅲ= 1∶5知

第3s 内的位移s Ⅲ=5s I =5×0.6 m=3 m

例2、一列车由等长的车厢连接而成. 车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时，测量第一节车厢通过他的时间为2s ，则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少?

分析：此题若以车为研究对象，由于车不能简化为质点，不便分析，故取车为参考系，把车的运动转化为人做匀加速直线运动。

解：据通过连续相等的位移所用时间之比为

:)23(:)12(:1--……)1(--n n 得

214161451415151612=-=-++-+-= t

所以所求时间△t=4 s

另解：一般解法如下：设每节车厢长为s ，加速度为a ，则人通过第一节车厢的时间s a s t 221==

则人通过前4节车厢的时间为s a s t 4424=⨯=

人通过前16节车厢的时间为

s a s t 816216=⨯=

故所求时间s t t t 4416=-=∆。 练习：1、地铁站台上，一工作人员在列车启动时，站在第一节车厢的最前端，4秒后，第一节车厢末端经过此人。若列车做匀加速直线运动，求列车开动多长时间，第4节车厢末端经过此人？（每节车厢长度相同）

解：设每节车厢长L ，加速度a 前四秒，L=½at1²,t1=4s 所以L=8a

当S=4L 时，根据S=½at ² 即4L=½at ² 将L=8a 代入上式，解得t=8s 拓展：2、测速仪安装有超声波发射和接收装置，如图所示，B 为测速仪，A 为汽车，两者相距335m ．某时刻B 发出超声波，同时A 由静止开始做匀加速直线运动．当B 接收到反射回来的超声波信号时，A 、B 相距355m ，已知声速为340m/s ，则汽车的加速度大小为 多少？

答案：10米每二次方秒拓展5

“逆向思维”法的应用

例：如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一子弹以水平速度v 射入木块，若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次射入每个木块时的速度比和穿过每个木块所用的时间比分别为多少？

先后射入的时间之比为(√3-√2):(√2-1):1

先后射入的速度之比为a ×(1+√3-√2+√2-1):a ×(√2-1+1):a ×1=√3:√2:1 练习：1、做匀减速直线运动的物体经4S 后停止，若在第1S 内的位移是14m ，则最后1S 的位移与4S 内的位移各是多少？

答案2米 32米

2、一物块以一定的初速度从一光滑斜面底端a 点上滑，最高可滑至b 点，c 是ab 中点，如图所示。已知物块从a 至c 需要的时间t 0。问它从c 经b 再回到

c ，需要的时间是多少？

解析：类竖直上抛运动，利用对称性，可反过来考虑。

物块由c 到a 的时间为t 0。而c 是ab 中点，设一个b 到c 的时间为t 1，则：

t 1:t 0=1:(√2-1)

∴ t 1=(√2+1)t 0

∴ t=2t 1=2(√2+1)t 0

说明：此题介绍了用“逆推法”解题。在解决末速度为0的匀减速直线运动时，可将其视为反方向的初速度为0的匀加速直线运动，可以大大地简化解题过程。

匀变速直线运动的三个推论 1. 某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度 即202t t v v v v +==

2. 某段位移内中间位置的瞬间速度2s

v 与这段位移的初、末速度0v 和t v 的关系为

)(212202t s v v v +=

3. 在连续相等的时间（T ）内的位移之差为一恒定值，即△s= aT 2（又称匀变速直线运动的判别式）

进一步推证得

=-=-=-=∆=+++232221232T S S T S S T S S T S a n n n n n n …… 例：1、某作匀加速直线运动的物体，设它运动全程的平均速度是v 1，运动到中间时刻的速度是v 2，经过全程一半位置时的速度是v 3，则下列关系中正确的是 [ c ]

A.v 1＞v 2＞v 3

B.v 1＜v 2=v 3

C.v 1=v 2＜v 3

D.v 1＞v 2=v 3

2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是=1s 24m ，=2s m ，每一个时间间隔为4s ，求质点的初速度和加速度。 练习、如图是用某监测系统每隔2.5 s 拍摄火箭起始加速阶段的一组照片。已知火箭的长度为40 m ，现在用刻度尺测量照片上的长度关系，结果如图所示。请你估算火箭的加速度a 和火箭在照片中第2个像所对应时刻的瞬时速度大小v 。

解析：从照片上可得，刻度尺的1 cm 相当于实际长度20 m 。量出前后两段位移分别为

4.00 cm 和6.50 cm ，对应的实际位移分别为80 m 和130 m 。由Δx ＝aT 2可得a ＝8 m/s 2，

再根据这5 s 内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可得照片中第2个像所对应时刻的瞬时速度v ＝80＋1302×2.5

m/s ＝42 m/s 。 拓展．．

：．思维转化法：将．．．．．．．“．多个物体的运动．．．．．．．”．转化为．．．“．一个物体的运动．．．．．．．”． 例．1． 从斜面上某一位置，每隔．．．．．．．．．．．0.1 s ．．．．释放一个小球，在连续释放几颗．．．．．．．．．．．．．． 小球后，对在斜面上滚动的小球拍下照片，如图所示，测得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．AB ．．＝．15 cm ．．．．，．x ．BC ．．＝．20 cm ．．．．，求：．．．

(1)．．．小球的加速度；．．．．．．．(2)．．．拍摄时．．．B ．球的速度；．．．．．

(3)．．．拍摄时．．．x ．CD ．．的大小；．．．．(4)．．．A ．球上方滚动的小球还有几颗．．．．．．．．．．．．．．

答案．． (1)5 m ．．．．．/s ．．2． (2)1.75 m/．．．．．．．．．s ． (3)0.25 m ．．．．．．．． (4)2．．．．

解析．． (1)．．．由．a ．＝．Δ．x ．t ．

2．得小球的加速度．．．．．．． a ．＝．x ．BC ．．－．x ．AB ．．t ．

2．＝．5 m/s ．．．．2． (2)．．．B ．点的速度等于．．．．．．AC ．．段上的平均速度，即．．．．．．．．．

v ．B ．＝．x ．AC ．．2．t ．

＝．1.75 m/s ．．．．．．． (3)．．．由相邻相等时间内的位移差恒定，即．．．．．．．．．．．．．．．．x ．CD ．．－．x ．BC ．．＝．x ．BC ．．－．x ．

AB ．．，所以．．． x ．CD ．．＝．2．x ．BC ．．－．x ．AB ．．＝．0.25 m ．．．．．

(4)．．．设．A ．点小球的速度为．．．．．．．v ．

A ．，由于．．． v ．A ．＝．v ．

B ．－．at ．．＝．1.25 m/s ．．．．．．．

所以．．A ．球的运动时间为．．．．．．．t ．A ．＝．v ．A ．a ．

＝．0.25 s ．．．．．，所以在．．．．A ．球上方滚动的小球还有．．．．．．．．．．2．颗．．． 练习．．

：． 某同学站在一平房边观察从屋檐边滴下的水滴，发．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．现屋檐边滴水是等时的，．．．．．．．．．．．且第．．5．滴正欲滴下时，第．．．．．．．．1．滴刚好到达地面；第．．．．．．．．．2．滴和第．．．3．滴水刚好位于窗户的下沿和上沿，．．．．．．．．．．．．．．．他测得窗户上、下沿的高度差为．．．．．．．．．．．．．．1 m ．．，由此求屋檐离地面的高度．．．．．．．．．．．．．．

答案．． 3.2 m ．．．．

解析．． 作出如图所示的示意图．．．．．．．．．．.5．．滴水滴的位置等效为一滴水做自由落体运动连．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

续相等时间内的位置．．．．．．．．．．．

图中自上而下相邻点之间的距离比为．．．．．．．．．．．．．．．．1．∶．3．∶．5．∶．7．，因点．．．“．3．”．、．“．2．”．间距．．

为．1 m ．．，可知屋檐离地面高度为．．．．．．．．．．．

1．5．

×．(1．．＋．3．＋．5．＋．7) m ．．．＝．3.2 m ．．．．