2014立体几何高考题(必修二用)

(文)

1.[2014·安徽卷] 如图1­5所示，四棱锥P ­ ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．18.

2．[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　) A

A．2π  B．π  C．2  D．1

3.[2014·湖北卷]圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)B

A.  B. C.  D. 

4.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC ­ A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A ­ B1DC1的体积为(　　) C

A．3  B.  C．1  D. 

5.[2014·重庆卷] 如图1­4所示四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.

(1)证明：BC⊥平面POM；

(2)若MP⊥AP，求四棱锥P­ABMO的体积．5/16

图1­4

6.[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1­2所示，则该多面体的体积是(　　)A

图1­2

A.  B.  C．6  D．7

7.[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1­3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．2

图1­3

8．[2014·湖北卷] 在如图1­1所示的空间直角坐标系O ­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)D

图1­2

A．①和②  B．③和①

C．④和③  D．④和②

9．[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1­2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)B

A．1  B．2  C．3  D．4

图1­2

10．[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为(　　)C

图1­2

A．8－  B．8－  

C．8－π  D．8－2π

11．[2014·浙江卷] 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)B

图1­1

A．72 cm3  B．90 cm3 C．108 cm3  D．138 cm3

12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1­1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)C

A.  B.  C.  D. 

图1­1

13. [2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1­1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)B

A．三棱锥  B．三棱柱 C．四棱锥  D．四棱柱

14.[2014·陕西卷] 四面体ABCD及其三视图如图1­4所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

(1)求四面体ABCD的体积；2/3

(2)证明：四边形EFGH是矩形．

15．[2014·四川卷] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图1­1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)(　　)D

图1­1

A．3  B．2  C.  D．1

16．[2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为(　　)C

A．12  B．18  C．24  D．30

17．[2014·天津卷] 一个几何体的三视图如图1­2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.  

18．[2014·湖南卷] 如图1­3所示，已知二面角α­MN­β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.

图1­3

(1)证明：AB⊥平面ODE；

(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．3/4

19．[2014·辽宁卷] 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)B

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

20．[2014·浙江卷] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)C

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α  

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α  

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

21．[2014·北京卷] 如图1­5，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

图1­5

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E ­ ABC的体积．

22．[2014·湖北卷] 如图1­5，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：

(1)直线BC1∥平面EFPQ；

(2)直线AC1⊥平面PQMN.

图1­5

23．[2014·江苏卷] 如图1­4所示，在三棱锥P ­ ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求证：(1)直线PA∥平面DEF；

(2)平面BDE⊥平面ABC.

图1­4

24.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1­3，四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P ­ ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．

图1­3

25．[2014·山东卷] 如图1­4所示，四棱锥P­ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

图1­4

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：BE⊥平面PAC.

26．[2014·四川卷] 在如图1­4所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．

(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1.

(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．

图1­4

27．[2014·天津卷] 如图1­4所示，四棱锥P ­ ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．

(1)证明：EF∥平面PAB；

(2)若二面角P­AD­B为60°.

(i)证明：平面PBC⊥平面ABCD；

(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

28.[2014·福建卷] 如图1­6所示，三棱锥A ­ BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

(1)求证：CD⊥平面ABD；

(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A ­ MBC的体积．.

图1­6

29．[2014·广东卷] 如图1­2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1­3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.

(1)证明：CF⊥平面MDF；

(2)求三棱锥M ­ CDE的体积．

30、[2014·江西卷] 如图1­1所示，三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.

(1)求证：A1C⊥CC1；

(2)若AB＝2，AC＝，BC＝，问AA1为何值时，三棱柱ABC ­ A1B1C1体积最大，并求此最大值．

图1­1

31．[2014·辽宁卷] 如图1­4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．

图1­4

(1)求证：EF⊥平面BCG；

(2)求三棱锥D ­BCG的体积．1/2

32．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1­4，三棱柱ABC ­ A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

图1­4

(1)证明：B1C⊥AB；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC ­ A1B1C1的高．

33．[2014·浙江卷] 如图1­5，在四棱锥A ­ BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.

图1­5

(1)证明：AC⊥平面BCDE；

(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．

34．[2014·重庆卷] 如图1­4所示四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，

且BM＝.

(1)证明：BC⊥平面POM；

(2)若MP⊥AP，求四棱锥P­ABMO的体积．

图1­4

35．[2014·全国卷] 如图1­1所示，三棱柱ABC ­ A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.

(1)证明：AC1⊥A1B；

(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1 ­ AB ­ C的大小．arccos.

    图1­1

36．[2014·江苏卷] 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．

37．[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)A

A.  B．16π

C．9π  D. 

38．[2014·山东卷] 一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12

39.[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1­2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)B

图1­2

A．1  B．2  C．3  D．4

40．[2014·陕西卷] 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)C

A．4π  B．3π  C．2π  D．π

41．[2014·陕西卷] 四面体ABCD及其三视图如图1­4所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

图1­4

(1)求四面体ABCD的体积；

(2)证明：四边形EFGH是矩形．

42．[2014·浙江卷] 如图1­3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是(　　)D

图1­3

A.  B.  C.  D. 

43.[2014·全国卷] 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)B

A.  B. C.  D. 

44．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1­3，四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P ­ ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．

图1­3

45．[2014·江西师大附中、临川一中期末] 如图X23­10所示，三棱锥S ­ ABC中，SA＝AB＝AC＝2，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝30°，M，N分别为SB，SC上的点，则△AMN的周长的最小值为________．2　

46．[2014·常德期末] 若某空间几何体的三视图如图X24­2所示，则该几何体的表面积是(　　)A

A．60  B．54

C．48  D．24

图X24­2

47．[2014·衡阳八中月考] 一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图X24­5所示，则该几何体的体积是(　　)C

A．8           B.         C.            D. 

图X24­5

48．[2014·咸阳模拟] 设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：

①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；

③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.

其中说法正确的个数为(　　)A③

A．1  B．2  C．3  D．0

49．[2014·景德镇质检] 如图X25­2所示，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：

①直线AM与直线C1C相交；

②直线AM与直线BN平行；

③直线AM与直线DD1异面；

④直线BN与直线MB1异面．

其中正确结论的序号为________．③④

50．[2014·济南期末] 如图J12­1所示，在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC的中点，N为线段PB的中点，G在线段BM上，且＝2.

(1)求证：AB⊥PD；

(2)求证：GN∥平面PCD

51．[2014·温州一模] 如图J13­2所示，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，且AC＝BC，O为AB的中点，OF⊥EC.

(1)求证：OE⊥FC；

(2)若FC与平面ABC所成的角为30°，求二面角F ­ CE ­ B的余弦值．－.

(理)

1. [2014·安徽卷] 如图1­5，四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.

(1)证明：Q为BB1的中点；

(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

2. [2014·湖北卷] 在如图1­1所示的空间直角坐标系O ­ xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)D

A．①和②  B．①和③  C．③和②  D．④和②

3. [2014·江西卷] 一几何体的直观图如图1­1所示，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)B

　A　　　　B　　　　C　　　 　D

4．[2014·浙江卷] 几何体的三视图如图1­1所示，则此几何体的表面积是(　　)D

A．90 cm2  B．129 cm2  C．132 cm2  D．138 cm2

5．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1­3，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)B

图1­3

A．6   B．6  C．4   D．4

6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1­1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)C

A.  B.  C.  D. 

7. [2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的表面积为(　　)B

A．54  B．60  C．66  D．72

8. [2014·天津卷] 一个儿何体的三视图如图1­3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. 

9．[2014·辽宁卷] 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)B

A．若m∥α，n∥α，则m∥n  

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α  

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)C

A.  B.  C.  D. 

11．[2014·四川卷] 三棱锥A ­ BCD及其侧视图、俯视图如图1­4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

(1)证明：P是线段BC的中点；

(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值．

12.[2014·湖北卷] 如图1­4，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．1±，

13．[2014·山东卷] 如图1­3所示，在四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．

图1­3

(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；

(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．

14．[2014·湖南卷] 如图1­6所示，四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．

(1)证明：O1O⊥底面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1­OB1­D的余弦值．

15．[2014·辽宁卷] 如图1­5所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．

(1)求证：EF⊥BC；

(2)求二面角E­BF­C的正弦值．

16．[2014·天津卷] 如图1­4所示，在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥底面ABCD,  AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE⊥DC；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F ­ AB ­ P的余弦值．

17．[2014·山东卷] 三棱锥P ­ ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D ­ ABE的体积为V1，P ­ ABC的体积为V2，则＝________．

18．[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)A

A.  B．16π  C．9π  D. 

19．[2014·江西卷] 如图1­4所示，在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2，3，4)，L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是(　　)C

图1­4

　A　　　　　　　　B

　C　　　　　　　　D

20.[2014·北京卷] 在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D ­ ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则(　　)D

A．S1＝S2＝S3  B．S2＝S1且S2≠S3

C．S3＝S1且S3≠S2  D．S3＝S2且S3≠S1

21．[2014·四川卷] 如图1­2，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sin α的取值范围是(　　)B

图1­2

A.  B. C.  D. 

22．[2014·石家庄质检] 把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C ­ ABD，其正视图、俯视图为全等的等腰直角三角形(如图X24­3所示)，则其侧视图的面积为(　　)B

图X24­3

A.    B.     C．1    D. 

23．[2014·江西师大附中、临川一中联考] 已知棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同的动点．

给出以下四个结论：

①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；

②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B1C都成45°的角；

③若PQ＝1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；

④若PQ＝1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．

以上各结论中，正确结论的个数是(　　)C①③④

A．1  B．2  C．3  D．4

24．[2014·韶关一模] 已知如图G7­8所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝.

(1)求证：平面BCF∥平面AED；

(2)若BF＝BD＝a，求四棱锥A­BDEF的体积． a3.

25．[2014·中山期末] 如图J12­4所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．

(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；

(2)求二面角E­AC­D的余弦值；

(3)求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．