2023年北京市中考数学试卷及其答案

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．（2分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）

A．23.9×107B．2.39×108C．2.39×109D．0.239×109

2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

3．（2分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）

A．36°B．44°C．54°D．63°

4．（2分）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（）

A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1D．﹣1＜﹣a＜1＜a

5．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）

A．﹣9B．C．D．9

6．（2分）正十二边形的外角和为（）

A．30°B．150°C．360°D．1800°

7．（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）

A．B．C．D．

8．（2分）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：

①a+b＜c；

②a+b＞；

③（a+b）＞c．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若代数式

有意义，则实数x 的取值范围是

．

10．（2分）分解因式：x 2y ﹣y 3＝．

11．（2分）方程

的解为

．

12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数y ＝（k ≠0）的图象经过点A （﹣3，2）和B （m ，﹣2），则m 的值为

．

13．（2分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命x ＜10001000≤x ＜16001600≤x ＜22002200≤x ＜2800x ≥2800

灯泡只数

5

10

12

17

6

根据以上数据，估计这

1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为只．14．（2分）如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB ∥EF ∥CD ，若AO ＝2，OF ＝1，FD ＝2，则的值

为

．

15．（2分）如图，OA 是⊙

O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC ＝45°，BC ＝2，则线段AE 的长为

．

16．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B 、

①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D

都完成后进行；

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

工序A B C D E F G

所需时间/分钟99797102

在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．

三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）

17．（5分）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．

18．（5分）解不等式组：．

19．（5分）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．

20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长．

21．（6分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．

（书法作品选自《启书》）

22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．

（1）求该函数的解析式及点C的坐标；

（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．

23．（5分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：

a.16名学生的身高：

161，162，162，1，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；

b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数中位数众数

166.75m n

（1）写出表中m ，n 的值；

（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高

161

162

1

165

175

（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，

他们的身高的方差为

．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所

组成的五名学生的身高的方差小于

，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五

名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和

．

24．（6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分∠ABC ，∠BAC ＝∠ADB ．（1）求证DB 平分∠ADC ，并求∠BAD 的大小；

（2）过点C 作CF ∥AD 交AB 的延长线于点F ，若AC ＝AD ，BF ＝2，求此圆半径的长．

25．（5分）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内容如下．

每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990．

方案一：采用一次清洗的方式：

结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式：

记第一次用水量为x 1个单位质量，第二次用水量为x 2个单位质量，总用水量为

1+x

2

）个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：

x

1

11.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0

x

2

0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5

x 1+x

2

11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5 C0.9900.90.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．

（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；

（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x

1

和总

用水量x

1+x

2

之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为

个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．

根据以上实验数据和结果，解决下列问题：

（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约个单位质量（结果保留小数点后一位）；

（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C0.990（填“＞”“＝”或”＜”）．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）上任

意两点，设抛物线的对称轴为x ＝t ．

（1）若对于x 1＝1，x 2＝2，有y 1＝y 2，求t 的值；

（2）若对于0＜x 1＜1，1＜x 2＜2，都有y 1＜y 2，求t 的取值范围．

27．（7分）在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝α（0°＜α＜45°），AM ⊥BC 于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．

（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；

（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF ＝DC ，连接AE ，EF ，直接写出∠AEF 的大小，并证明．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．

（1）如图，点A （﹣1，0），B 1（，），B 2（，）．①在点C 1（﹣1，1），C 2（，0），C 3（0，）中，弦AB 1的“关联点”是

；②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；

（2）已知点M （0，3），N （，0），对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．

参与试题解析

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．（2分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）

A．23.9×107B．2.39×108C．2.39×109D．0.239×109

【解答】解：239000000＝2.39×108，

故选：B．

2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

3．（2分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）

A．36°B．44°C．54°D．63°

【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，

∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，

∵∠BOD＝90°，

∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD

＝90°﹣36°

＝54°．

故选：C．

4．（2分）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（）

A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1D．﹣1＜﹣a＜1＜a【解答】解：∵a﹣1＞0，

∴a＞1，

∴﹣a＜﹣1，

∴﹣a＜﹣1＜1＜a，

故选：B．

5．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）

A．﹣9B．C．D．9

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，

解得m＝．

故选：C．

6．（2分）正十二边形的外角和为（）

A．30°B．150°C．360°D．1800°

【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C．7．（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）

A．B．C．D．

【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，

故选：A．

8．（2分）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：

①a+b＜c；

②a+b＞；

③（a+b）＞c．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．∵DF∥AC，AC⊥AE，

∴DF⊥AE．

又∵BG⊥FD，

∴BG∥AE，

∴四边形ABGF为矩形．

同理可得，四边形BCDG也为矩形．

∴FD＝FG+GD＝a+b．

∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．

故①正确．

②∵△EAB≌△BCD，

∴AE＝BC＝b，

∴在Rt△EAB中，BE＝＝．

∵AB+AE＞BE，

∴a+b＞．

故②正确．

③∵△EAB≌△BCD，

∴∠AEB＝∠CBD，

又∵∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠CBD+∠ABE＝90°，

∴∠EBD＝90°．

∵BE＝BD，

∴∠BED＝∠BDE＝45°，

∴BE＝＝c•sin45°＝c．

∴c＝．

∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），∴＞，

∴＞c．

故③正确．

故选：D．

二、填空题（共16分，每题2分）

9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠2．

【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，

解得：x≠2，

故答案为：x≠2．

10．（2分）分解因式：x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）．

【解答】解：x2y﹣y3

＝y（x2﹣y2）

＝y（x+y）（x﹣y）．

故答案为：y（x+y）（x﹣y）．

11．（2分）方程的解为x＝1．

【解答】解：方程两边同时乘以2x（5x+1）得，

3×2x＝5x+1，

∴x＝1．

检验：把x＝1代入2x（5x+1）＝12≠0，且方程左边＝右边．

∴原分式方程的解为x＝1．

12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2）和B（m，﹣2），则m的值为3．

【解答】解：∵函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），

∴k＝﹣3×2＝﹣6，

∴反比例函数的关系式为y＝﹣，

又∵B（m，﹣2）在反比例函数的关系式为y＝﹣的图象上，

∴m＝＝3，

故答案为：3．

13．（2分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：

使用寿

命

x ＜10001000≤x ＜16001600≤x ＜22002200≤x ＜2800x ≥2800灯泡只

数51012176

根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为460只．

【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×

＝460（只）．

故答案为：460．

14．（2分）如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB ∥EF ∥CD ，若AO ＝2，OF ＝1，FD ＝2，则的值为．

【解答】解：∵AO ＝2，OF ＝1，

∴AF ＝AO +OF ＝2+1＝3，

∵AB ∥EF ∥CD ，

∴＝＝，

故答案为：．

15．（2分）如图，OA 是⊙

O 的半径，BC

是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC ＝45°，BC ＝2，则线段AE 的长为．

【解答】解：∵OA 是⊙O 的半径，AE 是⊙O 的切线，

∴∠A ＝90°，

∵∠AOC ＝45°，OA ⊥BC ，

∴△CDO 和△EAO 是等腰直角三角形，

∴OD ＝CD ，OA ＝AE ，

∵OA ⊥BC ，

∴CD＝，

∴OD＝CD＝1，

∴OC＝OD＝，

∴AE＝OA＝OC＝，

故答案为：．

16．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：

①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D

都完成后进行；

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

工序A B C D E F G

所需时间/分钟99797102

在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要53分钟；

若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟．

【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2＝53（分钟），

即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；

假设这两名学生为甲、乙，

∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，

∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，

然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，

∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10＝28（分钟），

故答案为：53，28．

三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）

17．（5分）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．

【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2

＝2+3+2﹣2

＝5．18．（5分）解不等式组：．

【解答】解：，

解不等式①得：x＞1，

解不等式②得：x＜2，

∴原不等式组的解集为：1＜x＜2．

19．（5分）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．

【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，

∴x+2y＝1，

∴＝

＝

＝

＝2，

∴的值为2．

20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵BE＝DF，

∴AD﹣DF＝BC﹣BE，

即AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形；

（2）解：∵四边形AECF是矩形，

∴∠AEC＝∠AEB＝90°，

∵AE＝BE，AB＝2，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE＝BE＝AB＝，

∵tan∠ACB＝＝，

∴EC＝2AE＝2，

∴BC＝BE+EC＝+2＝3，

即BC的长为3．

21．（6分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．

（书法作品选自《启书》）

【解答】解：设天头长为6x，地头长为4x，则左、右边的宽为x，

根据题意得，100+10x＝4×（27+2x），

解得x＝4，

答：边的宽为4cm，天头长为24cm．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．

（1）求该函数的解析式及点C的坐标；

（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．

【解答】解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，

解得：k＝1，b＝1，

∴该函数的解析式为y＝x+1，

由题意知点C的纵坐标为4，

当y＝x+1＝4时，

解得：x＝3，

∴C（3，4）；

（2）由（1）知：当x＝3时，y＝x+1＝4，

因为当x＜3时，函数y＝x+n的值大于函数y＝x+1的值且小于4，

所以当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，

代入（3，4）得：4＝×3+n，

解得：n＝2．

23．（5分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：

a.16名学生的身高：

161，162，162，1，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；

b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数中位数众数

166.75m n

（1）写出表中m，n的值；

（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是甲组（填“甲组”或“乙组”）；

甲组学生的身高162165165166166

乙组学生的身高1611621165175

（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，

他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所

组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为170和172．【解答】解：（1）数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，1，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，

则舞蹈队16名学生的中位数为m＝＝166，众数为n＝165；

（2）甲组学生身高的平均值是：＝1.8，

甲组学生身高的方差是：×[（1.8﹣162）2+（1.8﹣165）2+（1.8﹣165）2+（1.8﹣166）2+（1.8﹣166）2]＝2.16，

乙组学生身高的平均值是：＝165.4，

乙组学生身高的方差是：×[（165.4﹣161）2+（165.4﹣162）2+（165.4﹣1）2+（165.4﹣165）2+（165.4﹣175）2]＝25.04，

∵25.04＞2.6，

∴甲组舞台呈现效果更好．

故答案为：甲组；

（3）∵168，168，172的平均数为（168+168+172）＝169，

且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，

∴数据的差别较小，

可供选择的有170，172，

平均数为：（168+168+170+172+172）＝170，

方差为：[（168﹣170）2+（168﹣170）2+（170﹣170）2+（172﹣170）2+（172﹣170）2]＝3.2＜

，

∴选出的另外两名学生的身高分别为170和172．

故答案为：170，172．

24．（6分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；

（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．

【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，

∴BD平分∠ADC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，

∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，

∴∠ABD+∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；

（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，

∴∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠AED＝90°，

∵∠BAD＝90°，

∴BD是圆的直径，

∴BD垂直平分AC，

∴AD＝CD，

∵AC＝AD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ADC＝60°

∵BD⊥AC，

∴∠BDC＝∠ADC＝30°，

∵CF∥AD，

∴∠F+∠BAD＝90°，

∴∠F＝90°，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∵∠FBC+∠ABC＝180°，

∴∠FBC＝∠ADC＝60°，

∴BC＝2BF＝4，

∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，

∴BC＝BD，

∵BD是圆的直径，

∴圆的半径长是4．

25．（5分）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为

0.990．

方案一：采用一次清洗的方式：

结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式：

记第一次用水量为x

1个单位质量，第二次用水量为x

2

个单位质量，总用水量为

（x

1+x

2

）个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：

x

1

11.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0

x

2

0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5

x 1+x

2

11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5 C0.9900.90.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．

（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；

（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x

1

和总

用水量x

1+x

2

之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为4

个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．

根据以上实验数据和结果，解决下列问题：

（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约11.3个单位质量（结果保留小数点后一位）；

（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C＜0.990（填“＞”“＝”或”＜”）．

【解答】解：（Ⅰ）表格如下：

x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0

x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5

x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.990

√0.90.990

√

0.990

√

0.990

√

0.990

√

0.990

√

0.9880.990

√

0.990

√

0.990

√

（Ⅱ）函数图象如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．

故答案为：4；

（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，

19﹣7.7＝11.3，

即可节水约11.3个单位质量．

故答案为：11.3；

（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到C＜0.990，

第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，

故答案为：＜．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x

1，y

1

），N（x

2

，y

2

）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任

意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．

（1）若对于x

1＝1，x

2

＝2，有y

1

＝y

2

，求t的值；

（2）若对于0＜x

1＜1，1＜x

2

＜2，都有y

1

＜y

2

，求t的取值范围．

【解答】解：（1）∵对于x

1＝1，x

2

＝2，有y

1

＝y

2

，

∴a+b+c＝4a+2b+c，

∴3a+b＝0，

∴＝﹣3．

∵对称轴为x＝﹣＝，∴t＝．

（2）∵0＜x

1＜1，1＜x

2

＜2，

∴，x

1＜x

2

，

∵y

1＜y

2

，a＞0，

∴（x

1，y

1

）离对称轴更近，x

1

＜x

2

，则（x

1

，y

1

）与（x

2

，y

2

）的中点在对称轴的右侧，

∴＞t，

即t≤．

27．（7分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；

（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．

【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，

∵∠C＝a，

∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝a，

∴∠C＝∠DEC，

∴DE＝DC，

∴DM＝DC，即D是MC的中点；

（2）∠AEF＝90°，

证明：如图，延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，

∵DF＝DC，

∴DE是FCH的中位线，

∴DE∥CH，CH＝2DE，

由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，

∴∠FCH＝2a，

∵∠B＝∠C＝a，

∴∠ACH＝a，△ABC是等腰三角形，

∴∠B＝∠ACH，AB＝AC

设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m+n，

.DF＝CD＝n，

∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，

∵AM⊥BC，

∴BM＝CM＝m+n，

∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，

∴CH＝BF，

在△ABF和△ACH中，

，

∴△ABF≌△ACH（SAS），

∴AF＝AH，

∵FE＝EH，

∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．

（1）如图，点A（﹣1，0），B

1（，），B

2

（，）．

①在点C

1（﹣1，1），C

2

（，0），C

3

（0，）中，弦AB

1

的“关联点”是C

1

，C

2

；

②若点C是弦AB

2

的“关联点”，直接写出OC的长；

（2）已知点M （0，3），N （，0），对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦

PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．

【解答】解：（1）①由关联定义可知，若直线CA 、CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点A （﹣1，0），B 1（

，

），点C 1（﹣1，1），C 2（

，0），C 3（0，

），

∴直线AC 2经过点O ，且B 1C 2与⊙O 相切，∴C 2是弦AB 1的“关联点”，

∵C 1（﹣1，1），A （﹣1，0）的横坐标相同，与B 1（，

）都位于直线y ＝﹣x 上，

∴AC 1与⊙O 相切，B 1C 1经过点O ，∴C 1是弦AB 1的“关联点”；故答案为：C 1，C 2；②∵A （﹣1，0），B 2（

，

），

设C （a ，b ），如图所示，共有两种情况，

a 、若C 1B 2与⊙O 相切，AC 经过点O ，则C 1B 2，AC 1所在直线为

，

解得，

∴C

1

（，0），

∴OC

1

＝，

b、若AC

2与⊙O相切，C

2

B

2

经过点O，

则直线C

2B

2

，AC

2

所在直线为，

解得，

∴C

2

（﹣1，1），

∴OC

2

＝，

综上所述，OC＝；

（2）∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，

∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M（0，3），N（，0），OM＞ON，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，如图所示，

①当S位于点M（0，3）时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM，

∵M（0，3），⊙O的半径为1，且MP是⊙O的切线，

∴OP⊥MP，

∵PJ⊥OM，

∴△MPO∽△POJ，

∴，即，

解得OJ＝，J＝，

∴PJ＝＝，Q

1

＝＝，

∴PQ

1

同理PQ

＝＝，

2

∴当S位于M（0，3）时，PQ

的临界值为和；

1

②当S位于经过点O的MN的垂直平分线上的点K时，

∵M（0，3），N（，0），

∴MN＝，

∴＝2，

∵⊙O的半径为1，

∴∠OKZ＝30°，

∴△OPQ为等边三角形，

∴PQ＝1或，

∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ

的临界点为1和，

1

∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤内，最大值在，

综上所述，t的取值范围为1≤t≤，．