2012年全国初中数合竞赛试题参

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，那么 EMBED Equation.DSMT4 的大小关系是 （ C ）

A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4

2．方程 EMBED Equation.DSMT4 的整数解 EMBED Equation.DSMT4 的组数为 （ B ）

A．3. B．4. C．5. D．6.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ D ）

A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C． EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4

4．已知实数 EMBED Equation.DSMT4 满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的最小值为 （ B ）

A． EMBED Equation.DSMT4 . B．0. C．1. D． EMBED Equation.DSMT4 .

5．若方程 EMBED Equation.DSMT4 的两个不相等的实数根 EMBED Equation.DSMT4 满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则实数 EMBED Equation.DSMT4 的所有可能的值之和为 （ B ）

A．0. B． EMBED Equation.DSMT4 . C． EMBED Equation.DSMT4 . D． EMBED Equation.DSMT4 .

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数 EMBED Equation.DSMT4 （数字可重复使用），要求满足 EMBED Equation.DSMT4 .这样的四位数共有 （ C ）

A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知互不相等的实数 EMBED Equation.DSMT4 满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ．

2．使得 EMBED Equation.DSMT4 是完全平方数的整数 EMBED Equation.DSMT4 的个数为 1 ．

3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则 EMBED Equation.DSMT4 ＝ EMBED Equation.DSMT4 ．

4．已知实数 EMBED Equation.DSMT4 满足 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ＝ EMBED Equation.DSMT4 ．

第二试 （A）

一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别为 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ），则 EMBED Equation.DSMT4 .

显然，三角形

的外接圆的直径即为斜边长 EMBED Equation.DSMT4 ，下面先求 EMBED Equation.DSMT4 的值.

由 EMBED Equation.DSMT4 及 EMBED Equation.DSMT4 得 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 .

由 EMBED Equation.DSMT4 及 EMBED Equation.DSMT4 得 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 .

又因为 EMBED Equation.DSMT4 为整数，所以 EMBED Equation.DSMT4 .

根据勾股定理可得 EMBED Equation.DSMT4 ，把 EMBED Equation.DSMT4 代入，化简得 EMBED Equation.DSMT4 ，所以

EMBED Equation.DSMT4 ，

因为 EMBED Equation.DSMT4 均为整数且 EMBED Equation.DSMT4 ，所以只可能是 EMBED Equation.DSMT4 解得 EMBED Equation.DSMT4

所以，直角三角形的斜边长 EMBED Equation.DSMT4 ，三角形的外接圆的面积为 EMBED Equation.DSMT4 .

二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明： EMBED Equation.DSMT4 .

证明：连接OA，OB，OC.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 .

又由切割线定理可得 EMBED Equation.DSMT4 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 ，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，

∴ EMBED Equation.DSMT4 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 .

三．（本题满分25分）已知抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的顶点为P，与 EMBED Equation.DSMT4 轴的正半轴交于A EMBED Equation.DSMT4 、B EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）两点，与 EMBED Equation.DSMT4 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M EMBED Equation.DSMT4 ，若AM//BC，求抛物线的解析式.

解 易求得点P EMBED Equation.DSMT4 ，点C EMBED Equation.DSMT4 .

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 EMBED Equation.DSMT4 .

显然， EMBED Equation.DSMT4 是一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 的两根，所以 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，又AB的中点E的坐标为 EMBED Equation.DSMT4 ，所以AE＝ EMBED Equation.DSMT4 .

因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ，又易知 EMBED Equation.DSMT4 ，所以可得 EMBED Equation.DSMT4 .

又由DA＝DC得 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ，把 EMBED Equation.DSMT4 代入后可解得 EMBED Equation.DSMT4 （另一解 EMBED Equation.DSMT4 舍去）.

又因为AM//BC，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 .

把 EMBED Equation.DSMT4 代入解得 EMBED Equation.DSMT4 （另一解 EMBED Equation.DSMT4 舍去）.

因此，

抛物线的解析式为 EMBED Equation.DSMT4 .

第二试 （B）

一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别为 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ），则 EMBED Equation.DSMT4 .

显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长 EMBED Equation.DSMT4 ，下面先求 EMBED Equation.DSMT4 的值.

由 EMBED Equation.DSMT4 及 EMBED Equation.DSMT4 得 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 .

由 EMBED Equation.DSMT4 及 EMBED Equation.DSMT4 得 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 .

又因为 EMBED Equation.DSMT4 为整数，所以 EMBED Equation.DSMT4 .

根据勾股定理可得 EMBED Equation.DSMT4 ，把 EMBED Equation.DSMT4 代入，化简得 EMBED Equation.DSMT4 ，所以

EMBED Equation.DSMT4 ，

因为 EMBED Equation.DSMT4 均为整数且 EMBED Equation.DSMT4 ，所以只可能是 EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4

解得 EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4

当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 ，三角形的外接圆的面积为 EMBED Equation.DSMT4 ；

当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 ，三角形的外接圆的面积为 EMBED Equation.DSMT4 .

二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.

证明：连接OA，OB，OC，BD.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得

EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 .

又由切割线定理可得 EMBED Equation.DSMT4 ，

∴ EMBED Equation.DSMT4 ，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，

∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ，

∴ EMBED Equation.DSMT4 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 .

又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，

∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的顶点为P，与 EMBED Equation.DSMT4 轴的正半轴交于A EMBED Equation.DSMT4 、B EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）两点，与 EMBED Equation.DSMT4 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移 EMBED Equation.DSMT4 个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的解析式.

解 抛物线的方程即

EMBED Equation.DSMT4 ，所以点P EMBED Equation.DSMT4 ，点C EMBED Equation.DSMT4 .

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 EMBED Equation.DSMT4 .

显然， EMBED Equation.DSMT4 是一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 的两根，所以 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，又AB的中点E的坐标为 EMBED Equation.DSMT4 ，所以AE＝ EMBED Equation.DSMT4 .

因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ，又易知 EMBED Equation.DSMT4 ，所以可得 EMBED Equation.DSMT4 .

又由DA＝DC得 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ，把 EMBED Equation.DSMT4 代入后可解得 EMBED Equation.DSMT4 （另一解 EMBED Equation.DSMT4 舍去）.

将抛物线 EMBED Equation.DSMT4 向左平移 EMBED Equation.DSMT4 个单位后，得到的新抛物线为

EMBED Equation.DSMT4 .

易求得两抛物线的交点为Q EMBED Equation.DSMT4 .

由∠QBO＝∠OBC可得 EMBED Equation.DSMT4 ∠QBO＝ EMBED Equation.DSMT4 ∠OBC.

作QN⊥AB，垂足为N，则N EMBED Equation.DSMT4 ，又 EMBED Equation.DSMT4 ，所以

EMBED Equation.DSMT4 ∠QBO＝ EMBED Equation.DSMT4 ＝ EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .

又 EMBED Equation.DSMT4 ∠OBC＝ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，所以

EMBED Equation.DSMT4 .

解得 EMBED Equation.DSMT4 （另一解 EMBED Equation.DSMT4 ，舍去）.

因此，抛物线的解析式为 EMBED Equation.DSMT4 .

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