函数的单调性与奇偶性

一. 选择题

1. ，当时递增 ，当时递减，则的值等于（    ）

A. 13       B. 1       C. 21       D. 

2. 若奇函数的图象过点，则必过点（    ）

A.              B.       

C.           D. 

3. 函数在，上都是增函数，则的取值范围（    ）

A.               B. 

C.                         D. 

4. 在上是增函数，则的增区间是（    ）

A.         B.         C.         D. 

二. 填空题

5. 函数的递增区间是     。

6. 若函数是R上的增函数，且对一切都成立，则实数a的取值范围是     。

7. 已知,,则_______。

8. 若是奇函数，则函数的图象关于_________对称。

三. 解答题

9. 已知是偶函数，在上是增函数，那么在上是增函数，还是减函数？并加以证明。

10. 函数在上单调递增，求实数a的取值范围。

11. 如果函数在上是减函数，求a的取值范围。

12.  判断函数（）在R上的单调性

13. 定义在上的偶函数，当时，单调递减，若，求的取值范围。

14.  已知函数，在R上是增函数，求证：在R上也是增函数。

15.   求函数的单调区间

16.  判断下列函数是否具有奇偶性

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

17.  函数在上为奇函数，且当时，则当时，求的解析式。

 18. 设为奇函数，且在定义域上为减函数，求满足的实数a的取值范围。

 19.  设是定义在上的增函数，且，求满足不等式的的取值范围。

【试题答案】

一.

1. C       2. D        3. D        4. B

二.

5.         6.        7. 31        8. 轴

三.

9. 设由于是偶函数，则，  ①

   由假设可知，且

   又已知在上是增函数，则   ②

   将①代入② 得即

   故在上是减函数

10. 解：  

在上单调递增 

∴ 设  则

∴     ∵     ∴ 

∴ 即

11. 解：对称轴，由得

12. 解：设、且则

当时，

当时，和中必有之一不为0（∵ ）

∴ 

当时，

在上面讨论结合（1）和（2）有

∴ 函数在R上是减函数

13. 解：∵ 为定义在上的偶函数，且当时递减

       ∴ 在时递增

       ∴       ∴       ∴ 

 14． 证：任取，且则因为在R上是增函数

    所以   又 ∵ 在R上是增函数

    ∴      ∴ 在R上是增函数

结论：同增异减：与增减性相同（反），函数是增（减）函数。

15. 解：首先确定义域：   ∴ 在和两个区间上分别讨论

任取、且

则

要确定此式的正负只要确定的正负即可

这样，又需判断大于1还是小于1，由于的任意性。

考虑到要将分为与

（1）当时，    ∴   为减函数

（2）当, 时，   ∴   为增函数

同理（3）当时，为减函数

（4）当时，为增函数

16.解：（1）函数与定义域为R

              ∴ 为奇函数

（2）函数的定义域为R

又 ∵      ∴ 为偶函数

（3）函数的定义域为      ∴ 为非奇非偶函数

（4）函数的定义域为，此时   ∴ 既是奇函数又是偶函数

（5）由得，知定义域关于原点不对称

     ∴ 既不是奇函数也不是偶函数

17. 解：设则    ∴ 

又 ∵ 在R上为奇函数     ∴ 

    ∴ 当时，   ∴ 

18. 解：由为奇函数知：

    由是减函数知：

    ∴  解得

19 。解：

    又

    ∴  化为

    ∴  解得