2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练4(附答案详解)

1．如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（　　）

A． ． ． ．

2．如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（ ） 

A．  ． ．3 ．

3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，2）、C（4，2）、D（3，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为A'，则A'C的最小值为（　　）

A． ． ． ．1

4．如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到，两点的距离之和的最小值为（ ）.

A． ． ． ．

5．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是

A． ． ． ．

6．如图，正方形中，，是的中点，是上的一动点，则的最小值是（ ） 

A．2 ．4 ． ．

7．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O（AC＞BD），点P是线段AC上的动点（与点A，C都不重合），点P到点D的距离与它到直线AD的距离之和最小值为l，则l是（　　）

A．线段DO的长 ．点D到直线AB的距离

C．线段DB的长 ．点P到直线DC的距离

8．如图，在中，，，，D为AB上的动点，连接CD，以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为（ ）

A．3 ．4 ． ．

9．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是_____．

10．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为_______

11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点O作OE⊥AC，交BC于点E，连接AE．已知△ABE的周长为18，则对角线AC的最大整数值是_____．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，△BCD为等边三角形，点E为△BCD围成的区域（包括各边）内的一点，过点E作EM∥AB，交直线AC于点M，作EN∥AC，交直线AB于点N，则的最大值为_____.

13．如图，在中，，，，点是上一点，交于点，于点，则线段的最小值为________．

14．如图，在矩形中，点是线段上一动点，且，，，，则的值为_________．

15．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值为_____．

16．如图，四边形是菱形，分别是上的动点，连接，则的最小值为__________．

17．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___

18．如图，在平面直角坐标系中，OAB是边长为4的等边三角形，OD是AB边上的高，点P是OD上的一个动点，若点C的坐标是，则PA+PC的最小值是_________________.

19．如图，在R△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是AB上的一个动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，则MN的最小值为_____．

20．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．

（1）求的大小；

（2）问题探究：动点在运动的过程中，

①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．

②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．

参

1．A

【解析】

【分析】

先由，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即可得到的最小值．

【详解】

设中边上的高是．

，

，

，

动点在与平行且与的距离是的直线上，

如图，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，

在中，，

，

即的最小值为．

故选：A．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

2．D

【解析】

【分析】

设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得 ，，则 ，所以 ， ，接着确定m的取值范围为： ，然后根据二次函数的性质求出S的最小值．

【详解】

解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=60°， ，

在Rt△ADN中，，

在Rt△BPF中，，

∵BD+DE+EF+CF=AB，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最大，正方形EFPH的边长最小，

当点H落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，

∴当点M落在AC上时：

为正三角形，

在中，，，

∴ ，解得

在中，，

∵BD+DE+EF+CF=AB，

∴ 

解得，

∴，

∴当 时，S最小，S的最小值为 ．

故选：D．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质．

3．B

【解析】

【分析】

由轴对称的性质可知BA＝BA′，在△BA′C中由三角形三边关系可知A′C≥BC−BA′，则可求得答案．

【详解】

解：连接BA′，如图：

∵平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，2）、C（4，2）、D（3，0），

∴AB＝，BC＝4，

∵若点A关于BP的对称点为A'，

∴BA′＝BA＝，

在△BA′C中，由三角形三边关系可知：A′C≥BC﹣BA′，

∴A′C≥4﹣，即A′C的最小值为4﹣，

故选B．

【点睛】

本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC−BA′是解题的关键．

4．D

【解析】

【分析】

首先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA＋PB的最小值．

【详解】

解：设△ABP中AB边上的高是h．

∵，

∴AB•h＝AB•AD，

∴h＝AD＝2，

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．

在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2＋2＝4，

∴BE＝，

即PA＋PB的最小值为．

故选D．

【点睛】

本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．

5．B

【解析】

【分析】

由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．

【详解】

如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，

∵BE=2，AE=3，

∴AB=5，

∵四边形ABCD是正方形，

∴B、D关于AC对称，AD=AB=5

∴PB=PD，

∴PB+PE=PD+PE=DE，

∴DE=，

即PB+PE的最小值是，

故选B.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．

6．D

【解析】

【分析】

因为A,C关于DB对称，P在DB上，连接AC，EC与DB交点即为P，此时的值最小.

【详解】

如图, 因为A,C关于DB对称，P再DB上,作点连接AC,EC交BD与点P，此时最小.此时=PE+PC=CE,值最小.

∵正方形中，，是的中点

∴∠ABC＝90°，BE＝2,BC＝4

∴CE＝

故答案为

故选D.

【点睛】

本题考查的是两直线相加最短问题，熟练掌握对称是解题的关键.

7．B

【解析】

【分析】

找点D关于AC的对称点，将点P到点D的距离转化为点P到点B的距离，则点P到点B的距离与它到直线AD的距离之和即为所求，根据“垂线段最短”，其最小值即为点B到直线AD的距离,找出选项中与其等长的距离即可.

【详解】

解：∵D点关AC的对称点为B，则过点B作AD的垂线段即为点P到点D的距离与它到直线AD的距离之和最小时，

此段线段与过点D作AB的垂线段等长，

故选：B．

【点睛】

本题考查了最短路径问题，找已知点的对称点，将折线路径转化为直线路径是解题的关键.

8．D

【解析】

【分析】

当DE⊥CE时，DE最小，过点C 作AB的垂线，交AB于点F.先证出是直角三角形，再用面积法求出CF的值，然后根据平行线间的距离处处相等得到DE的值。

【详解】

解：如图，当DE⊥CE时，DE最小，过点C 作AB的垂线，交AB于点F.

∵，，，

∴是直角三角形，面积=×3×4=6，

∴CF=

∵平行四边形ADCE，

∴CE∥AB,

∴DE=CF=

故选：D

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短的应用，熟练掌握定理和面积法求高是解题关键。

9．8﹣3

【解析】

【分析】

延长CD到C'，使C'D=CD，CP+PM=C'P+PM，当C'，P，M三点共线时，C'P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C'到圆上一点M距离的最小值C'M=C'B﹣3，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】

延长CD到C'，使C'D=CD．

∵PD⊥CD，∴PD是CC'的垂直平分线，∴CP=C'P，则CP+PM=C'P+PM，当C'，P，M三点共线时，C'P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C'到圆上一点M距离的最小值C'M=C'B﹣3．

∵BC=CD=8，∴CC'=16，∴C'D==8，∴CP+PM的最小值是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．

10．144°

【解析】

【分析】

根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

【详解】

解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．

∵四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72° 

∴∠DAB=108°，

∴∠AA′M+∠A″=72°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×72°=144°，

故填：144°．

【点睛】

此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．

11．17

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质可得A0=CO，且OE⊥AC，可得OE是AC的垂直平分线，可得AE=EC，即A8+BE+AE=A8+BE+EC=AB+BC=18，由三角形的三边关系可求解.

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO＝CO，且OE⊥AC

∴AE＝CE

∵△ABE的周长为18

∴AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝18

∵AB+BC＞AC

∴AC＜18

∴对角线AC的最大整数值为17

故答案为17

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键.

12．

【解析】

【分析】

作辅助线，构建30度的直角三角形将转化为NH，将，即：过A点作AM∥BC，过作交的延长线于点，，由△BCD围成的区域（包括各边）内的一点到直线AP的最大值时E在D点时，通过直角三角形性质和勾股定理求出DH’即可得到结论．

【详解】

解：过A点作AP∥BC，过作交的延长线于点，

，，

四边形是平行四边形，

设，，

∵∠ACB=90°，∠CAB=60°，

∴∠CAM=90°，∠NAH=30°，

中，，

∵NE∥AC，NH∥AC，

∴E、N、H在同一直线上，

，

由图可知：△BCD围成的区域（包括各边）内的一点到直线AM距离最大的点在D点，

过D点作，垂足为.

当在点时，=取最大值.

∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，

∴AC=3，AB=，四边形ACGH’是矩形，

∴，

∵△BCD为等边三角形，，

∴=,

∴，

∴的最大值为，

故答案为．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度．解题关键是根据在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半对进行转化，使得最大值问题转化为点到直线的距离解答.

13．

【解析】

【详解】

∵，，，

∴是直角三角形，，

∵，，

∴四边形是矩形，

∴，

由垂线段最短可得时，线段最小，则线段也最小，

此时，，

即，，线段最小值是，

故答案为.

14．

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质和勾股定理得到各边边长,再利用S△BOP+S△COP= S△BOC进行求解即可解题.

【详解】

解：如下图,连接OP,

在矩形中，∵，，

∴AC=10（勾股定理）

∴BD=10,

∴OA=OB=OC=OD=5,

∴S△BOC= 

S△BOP+S△COP= S△BOC

∴PE+PF=

故答案为

【点睛】

本题考查了矩形的性质,勾股定理,三角形的面积,属于简单题,熟悉面积的表示形式和矩形的性质是解题关键.

15．2

【解析】

【详解】

连接AC，

∵四边形ABCD为菱形， 

∴AB＝BC＝4，A、C关于BD对称，

∴连AM交BD于P，

则PM+PC=PM+AP=AM，

根据两点之间线段最短，AM的长即为PM+PC的最小值．

∵∠ABC=60°，AB=BC，

∴△ABC为等边三角形，

又∵BM=CM，

∴AM⊥BC，

∴AM=，

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称中的最短路径问题，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

16．

【解析】

【分析】

连接BQ、PB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B. D关于AC对称，则PB=PD，可知当B、P、Q共线时PQ+PD=PQ+BP=BQ最小，BQ为所求，当BQ⊥AD时，BQ最小，继而利用面积法求出BQ长即可得答案.

【详解】

连接BQ、PB，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得B. D关于AC对称，则PB=PD，

∴PQ+PD=PQ+BP，

则当B、P、Q共线时PQ+PD=PQ+BP=BQ最小，BQ为所求，当BQ⊥AD时，BQ最小，

∵四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，

∴OA=4，OB=3，AC⊥BD，

在Rt△AOB中，AB==5，

∵S菱形ABCD=，

∴，

∴BQ=，

∴DP+PQ的最小值为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．

17．2.

【解析】

【分析】

如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“=”，此时即PM—PN的值最大，由正方形的性质求出AC的长，继而可得，，再证明，可得PM∥AB∥CD，∠90°，判断出△为等腰直角三角形，求得长即可得答案.

【详解】

如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“=”，

∵正方形边长为8，

∴AC=AB=，

∵O为AC中点，

∴AO=OC=，

∵N为OA中点，

∴ON=，

∴，

∴，

∵BM=6，

∴CM=AB-BM=8-6=2，

∴，

∴PM∥AB∥CD，∠90°，

∵∠=45°，

∴△为等腰直角三角形，

∴CM==2，

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

18．

【解析】

【分析】

由题意知，点A与点B关于直线OD对称，连接BC，则BC的长即为PC+AP的最小值，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，过B作BM⊥x轴于M，求出BN、CN的长，然后利用勾股定理进行求解即可.

【详解】

由题意知，点A与点B关于直线OD对称，连接BC，则BC的长即为PC+AP的最小值，

过点B作BN⊥y轴，垂足为N，过B作BM⊥x轴于M，则四边形OMBN是矩形，

∵△ABO是等边三角形，

∴OM=AO=×4=2，∴BN=OM=2，

在Rt△OBM中，BM===2，

∴ON=BM=2，

∵C，

∴CN=ON+OC=2+=3，

在Rt△BNC中，BC=，

即PC+AP的最小值为，

故答案为.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理，等边三角形的性质等，正确添加辅助线，确定出最小值是解题的关键.

19．2.4

【解析】

【分析】

连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．

【详解】

解：如图，连接．

，，，

，

，，，

四边形是矩形，

，

由垂线段最短可得时，线段的值最小，

此时，，

即，

解得．

故答案为：2.4．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．

20．（1）；（2）①能，的值为5或；②大小不变，；（3）.

【解析】

【分析】

（1）在中，求出的正切值即可解决问题．

（2）①分两种情形：当时，当时，分别求解即可．

②．利用四点共圆解决问题即可．

（3）首先证明是等边三角形，再证明垂直平分线段，解直角三角形即可解决问题．

【详解】

解：（1）如图一（1）中，

∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴．

（2）①如图一（1）中，当时，

∵，，，

∴，

∴，

在中，∵，，

∴，

∵，，

∴是等边三角形，

∴，

∴．

如图一（2）中，当时，易证，

∵，

∴，∵，

∴，

∴，

∴，

综上所述，满足条件的的值为5或．

②结论：大小不变．

理由：如图一（1）中，∵，

∴四点共圆，

∴．

如图一（2）中，∵，

∴四点共圆，

∴，

∵，

∴，

综上所述，．

（3）如图二中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴垂直平分线段，

∴，

∴，

∵，，

∴．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．